Для используется критерий дарбина уотсона. Тест дарбина-уотсона на наличие автокорреляции остатков

Проверка адекватности трендовых моделей реальному процессу строится на основе анализа случайной компоненты. В расчетах случайная компонента заменяется остатками, представляющими собой разность фактических и расчетных значений

При правильном выборе тренда отклонения от него будут носить случайный характер. В случае если вид функции выбран неудачно, то последовательные значения остатков могут не обладать свойством независимости, т.е. они могут коррелировать между собой. В этом случае говорят, что имеет место автокорреляция ошибок.

Существует несколько приемов обнаружения автокорреляции. Наиболее распространенным является критерий Дарбина – Уотсона. Этот критерий связан с гипотезой о существовании автокорреляции первого порядка. Его значения определяются по формуле

. (2.29)

Для понимания смысла этой формулы преобразуем ее, сделав предварительное допущение, положив . Непосредственное преобразование формулы осуществляется следующим образом:

.

При достаточно большом сумма из слагаемых значительно превосходит сумму из двух слагаемых и поэтому отношением этих величин можно пренебречь. Кроме того, отношение в квадратных скобках в силу того, что , можно считать коэффициентном корреляции между и . Таким образом, критерий Дарбина – Уотсона записывается в виде

. (2.30)

Полученное представление критерия позволяет сделать вывод, что статистика Дарбина – Уотсона связывает с выборочным коэффициентом корреляции . Таким образом, и значение критерия может указывать на наличие или отсутствие автокорреляции в остатках. Причем, если , то . Если (положительная автокорреляция), то ; если (отрицательная автокорреляция), то .

Статистически значимая уверенность в наличии или отсутствии автокорреляции определяется с помощью таблицы критических точек распределения Дарбина – Уотсона. Таблица позволяет по заданному уровню значимости , числу наблюдений и количеству переменных в модели определить два значения: – нижняя граница и – верхняя граница.

Таким образом, алгоритм проверки автокоррелированности остатков по критерию Дарбина – Уотсона следующий:

1) Построение трендовой зависимости с помощью обычного МНК

2) Вычисление остатков

для каждого наблюдения ();

хорошо иллюстрируется графической схемой на рис. 3.1.

d

Рис. 2.1. Графическая схема проверки автокоррелированности остатков

1 вычислим d- статистику (критерий Дарбина – Уотсона)

2 вычислить первый коэффициент автокорреляции r(1)

для расчетов подготовим –

∑e 2 (t) = 14,6 - используем Excel fx/математическая/СУММКВ),

∑(e(t)-e(t-1)) 2 = 32,32– используем Excel fx/математическая/СУММКВРАЗН) – 1 массив кроме 1-го, 2 массив кроме последнего.

d=∑(e(t)-e(t-1)) 2 / ∑e 2 (t) = 32,32/14,6=2,213699

По таблице Значения d-критерия Дарбина – Уотсона определим, что d 1 = 1,08 и d 2 = 1,36

Т.е. наше d=2,213699 ? (1.08;1,36), следовательно нужна дополнительная проверка, найдем d’=4-d=4-2,213699=1,786301, т.е d’ ? (1,36;2)

не выпол-ся доп. Прове-ка выпол-ся d’=4-d

следовательно, свойство независимости уровней ряда остатков выполняются, остатки независимы.

Для проверки нормального распределения остатков вычислим R/S – статистику

R/S=e max -e min / S e

е max - максимальный уровень ряда остатков,

е min - минимальный уровень ряда остатков,

S- среднеквадратичное отклонение.

е max =2,2333333 используем Excel fx/статистическая/МАКС),

е min =-2,466666667 используем Excel fx/статистическая/МИН),

Se=1,444200224 1-я таблица Итогов регрессии строка «стандартная ошибка»

Следовательно, R/S=2,2333333 - (-2,466666667)/ 1,444200224=3,254396

Критический интервал (2,7;3,7), т.е R/S=3,254396 ? (2,7;3,7), свойство нормального распределения остатков выполняется.

Подводя итоги проверки можно сделать вывод, что модель ведет себя адекватно.

Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Е отн = |e(t)/Y(t)|*100% по полученным значениям определить среднее значение (fx/математическая/СРЗНАЧ)

относит. погр-ти
28,88888889
6,19047619
7,333333333
8,787878788
2,222222222
2,156862745
4,444444444
8,933333333
10,72463768

E отн ср =8,853564 – хороший уровень точности модели

Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставим соответствующие значения t=10 и t=11:

у 10 =1,166666667+2,7*10=28,16666667

у 11 =1,166666667+2,7*11= 30,86666667,

Ожидаемый спрос на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю должен составить около 28,16666667 млн. руб., а на 11 неделю около 30,86666667 млн. руб.

При уровне значимости L=30%, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при к=n-2=9-2=7, равен

t кр (30%;7)=1,119159 (fx/статистическая/СТЬЮДРАСПОБР),

S e =1,444200224 1-я таблица Итогов регрессии строка «стандартная ошибка»,

t’ ср = 5(fx/математическая/СРЗНАЧ)- средний уровень по рассматриваемому моменту времени,

∑(t-t’ ср)=60 (fx/статистическая/КВАДРОТКЛ),

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

U 1 =t*Se*√1+1/n+(t*-t’) 2 /∑(t-t’ ср)= 1,119159*1,444200224*√1+1/9+(10-5) 2 /60=1,997788

U 2 =t*Se*√1+1/n+(t*-t’) 2 /∑(t-t’ ср)=1,119159*1,444200224*√1+1/9+(11-5) 2 /60= 2,11426

u ниж =28,16666667-1,997788=26,16888

u верх =28,16666667+1,997788=30,16445

u ниж =30,86666667-2,11426=28,75241

u ниж =30,86666667+2,11426= 32,98093

Спрос на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю в пределах от 26,16888 млн. руб. до 30,16445 млн. руб., а на 11 неделю от 28,75241 млн. руб. до 32,98093 млн. руб.

Строим график:

Ai- расход сырья на единицу продукции; B - общий запас сырья; W - область допустимых ограничений; Тема 2. Метод математического моделирования в экономике. 2.1. Понятие “модель” и “моделирование”. С понятием “моделирование экономических систем” (а также математических и др.) связаны два класса задач: 1) задачи анализа, когда система подвергается глубокому изучению ее...

Отрезка времени. Как правило, это задача, решение которой влечет за собой постановки близких или аналогичных задач. Глава 2. Экономико-математическое моделирования процессов принятия управленческих решений. В классификации решений по времени действия выражается принцип их цикличности, определенная хронологическая последовательность, временные рамки которой неизбежно должны учитываться в процессе...

Производственной функции, моделей поведения фирмы, моделей общего экономического равновесия, прежде всего модели Л. Вальраса и ее модификаций. Глава 2. История развития экономико-математического моделирования в США Для характеристики математического направления в экономике за последние 80 – 90 лет приведу лишь некоторые результаты, сыгравшие заметную роль в его развитии. Как в теоретическом, ...

Вопросы должны быть получены в ходе маркетинговых и проектно-изыскательских работ на фазе проектирования спортивных сооружений. И уже на этой стадии в процесс активно включаются экономико-математические методы, задействуется существующий аппарат математического моделирования и прогнозирования. Данные методы и расчеты совершенно необходимы для определения: сроков окупаемости отдельных предприятии...

где ρ 1 - коэффициент автокорреляции первого порядка.

В случае отсутствия автокорреляции ошибок d = 2 , при положительной автокорреляции d стремится к нулю, а при отрицательной стремится к 4:

На практике применение критерия Дарбина-Уотсона основано на сравнении величины d с теоретическими значениями d L и d U для заданного числа наблюдений n , числа независимых переменных модели k и уровня значимости α .

1. Если d < d L , то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно присутствует положительная автокорреляция);
2. Если d > d U , то гипотеза не отвергается;
3. Если d L < d < d U , то нет достаточных оснований для принятия решений.

Когда расчетное значение d превышает 2, то с d L и d U сравнивается не сам коэффициент d , а выражение (4 − d ) .

Также с помощью данного критерия выявляют наличие коинтеграции между двумя временными рядами . В этом случае проверяют гипотезу о том, что фактическое значение критерия равно нулю. С помощью метода Монте-Карло были получены критические значения для заданных уровней значимости. В случае, если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона превышает критическое, то нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции отвергают .

Недостатки

h-критерий Дарбина

Критерий h Дарбина применяется для выявления автокорреляции остатков в модели с распределёнными лагами :

• где n - число наблюдений в модели;
• V - стандартная ошибка лаговой результативной переменной.

При увеличении объёма выборки распределение h -статистики стремится к нормальному с нулевым математическим ожиданием и дисперсией , равной 1. Поэтому гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отвергается, если фактическое значение h -статистики оказывается больше, чем критическое значение нормального распределения .

Критерий Дарбина-Уотсона для панельных данных

Для панельных данных используется немного видоизменённый критерий Дарбина-Уотсона:

В отличие от критерия Дарбина-Уотсона для временных рядов в этом случае область неопределенности является очень узкой, в особенности, для панелей с большим количеством индивидуумов .

См. также

• Метод рядов
• Q-тест Льюнга-Бокса
• Метод Кочрена-Оркатта

Примечания

Литература

• Anayolyev S. Durbin–Watson statistic and random individual effects // Econometric Theory (Problems and Solutions) . - 2002-2003.

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Критерий Дарбина-Уотсона" в других словарях:

Критерий Дарбина Уотсона (или DW критерий) статистический критерий, используемый для тестирования автокорреляции первого порядка элементов исследуемой последовательности. Наиболее часто применяется при анализе временных рядов и… … Википедия

Дарбина - Уотсона критерий - условный показатель, который применяется для выявления автокорреляции во временных рядах (обозначается d). Показатель d вычисляется по формуле где yt+1 и yt соответствующие уровни ряда. При отсутствии… … Экономико-математический словарь

Дарбина-Уотсона критерий - Условный показатель, который применяется для выявления автокорреляции во временных рядах (обозначается d). Показатель d вычисляется по формуле: где yt+1 и yt соответствующие уровни ряда. При отсутствии автокорреляции в исследуемом ряде показатель … Справочник технического переводчика

Автокорреляция статистическая взаимосвязь между случайными величинами из одного ряда, но взятых со сдвигом, например, для случайного процесса со сдвигом по времени. Данное понятие широко используется в эконометрике. Наличие… … Википедия

Тест Бройша Годфри, называемый также LM тест Бройша Годфри на автокорреляцию (англ. Breusch Godfrey serial correlation LM test применяемая в эконометрике процедура проверки автокорреляции произвольного порядка в случайных… … Википедия

Статистический критерий, предназначенный для нахождения автокорреляции временных рядов. Вместо тестирования на случайность каждого отдельного коэффициента, он проверяет на отличие от нуля сразу несколько коэффициентов автокорреляции: где n… … Википедия

Статистический критерий, предназначенный для нахождения автокорреляции временных рядов. Вместо тестирования на случайность каждого отдельного коэффициента, он проверяет на отличие от нуля сразу несколько коэффициентов автокорреляции.… … Википедия

Статистика Бокса Пирса статистический критерий, предназначенный для нахождения автокорреляции временных рядов. Вместо тестирования на случайность каждого отдельного коэффициента, он проверяет на отличие от нуля сразу несколько коэффициентов … Википедия

Тест Льюнга Бокса статистический критерий, предназначенный для нахождения автокорреляции временных рядов. Вместо тестирования на случайность каждого отдельного коэффициента, он проверяет на отличие от нуля сразу несколько коэффициентов… … Википедия

График 100 случайных величин со скрытой синусоидой. Автокорреляционная функция позволяет увидеть периодичность в ряде данных. Автокорреляция статистическая взаимосвязь между случайными величинами из одного ряда, но взятых со сдвигом,… … Википедия

Критерий Дарбина-Уотсона применяют для обнаружения автокорреляции , подчиняющейся авторегрессионному процессу 1-го порядка. Предполагается, что величина остатков е t в каждом t-м наблюдении не зависит от его значений во всех других наблюдениях. Если коэффициент автокорреляции ρ положительный, то автокорреляция положительна, если ρ отрицательный, то автокорреляция отрицательна. Если ρ = 0, то автокорреляция отсутствует (т.е. четвертая предпосылка нормальной линейной модели выполняется).
Критерий Дарбина-Уотсона сводится к проверке гипотезы:

• Н 0 (основная гипотеза): ρ = 0
• Н 1 (альтернативная гипотеза): ρ > 0 или ρ
  Для проверки основной гипотезы используется статистика критерия Дарбина-Уотсона – DW:

  Где e i = y - y(x)

  Проводится с помощью трех калькуляторов:

  1. Уравнение тренда (линейная и нелинейная регрессия)

  Рассмотрим третий вариант. Линейное уравнение тренда имеет вид y = at + b
  1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов через онлайн сервис Уравнение тренда .
  Система уравнений
  
  Для наших данных система уравнений имеет вид
  
  Из первого уравнения выражаем а 0 и подставим во второе уравнение
  Получаем a 0 = -12.78, a 1 = 26763.32
  Уравнение тренда
  y = -12.78 t + 26763.32
  Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.
  
  
  Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда
  Средние значения
  
  
  
  Дисперсия
  
  
  Среднеквадратическое отклонение
  
  

  Индекс детерминации
  
  , т.е. в 97.01% случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая.

  t	y	t 2	y 2	t ∙ y	y(t)	(y-y cp) 2	(y-y(t)) 2	(t-t p) 2	(y-y(t)) : y
  1990	1319	3960100	1739761	2624810	1340.26	18117.16	451.99	148.84	28041.86
  1996	1288	3984016	1658944	2570848	1263.61	10732.96	594.99	38.44	31417.53
  2001	1213	4004001	1471369	2427213	1199.73	817.96	176.08	1.44	16095.92
  2002	1193	4008004	1423249	2388386	1186.96	73.96	36.54	0.04	7211.59
  2003	1174	4012009	1378276	2351522	1174.18	108.16	0.03	0.64	210.94
  2004	1159	4016016	1343281	2322636	1161.4	645.16	5.78	3.24	2786.55
  2005	1145	4020025	1311025	2295725	1148.63	1552.36	13.17	7.84	4155.05
  2006	1130	4024036	1276900	2266780	1135.85	2959.36	34.26	14.44	6614.41
  2007	1117	4028049	1247689	2241819	1123.08	4542.76	36.94	23.04	6789.19
  2008	1106	4032064	1223236	2220848	1110.3	6146.56	18.51	33.64	4758.73
  20022	11844	40088320	14073730	23710587	11844	45696.4	1368.3	271.6	108081.77

  Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда .

  y	y(x)	e i = y-y(x)	e 2	(e i - e i-1) 2
  1319	1340.26	-21.26	451.99	0
  1288	1263.61	24.39	594.99	2084.14
  1213	1199.73	13.27	176.08	123.72
  1193	1186.96	6.04	36.54	52.19
  1174	1174.18	-0.18	0.03	38.75
  1159	1161.4	-2.4	5.78	4.95
  1145	1148.63	-3.63	13.17	1.5
  1130	1135.85	-5.85	34.26	4.95
  1117	1123.08	-6.08	36.94	0.05
  1106	1110.3	-4.3	18.51	3.15
  			1368.3	2313.41

  
  
  Критические значения d 1 и d 2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.
  Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
  d 1 < DW и d 2 < DW < 4 - d 2 .

  Пример . По данным за 24 месяца построено уравнение регрессии зависимости прибыли сельскохозяйственной организации от производительности труда (x1): y = 300 + 5x .
  Получены следующие промежуточные результаты:
  ∑ε 2 = 18500
  ∑(ε t - ε t-1) 2 = 41500
  Рассчитайте критерий Дарбина-Уотсона (при n=24 и k=1 (число факторов) нижнее значение d = 1,27, верхнее d = 1,45. Сделайте выводы.

  Решение.
  DW = 41500/18500 = 2,24
  d 2 = 4- 1,45 =2,55
  Поскольку DW > 2,55, то следовательно, имеются основания считать, что автокорреляция отсутствует. Это является одним из подтверждений высокого качества полученного уравнения регрессии y = 300 + 5x .

Критерий Дарбина - Уотсона (или DW-критерий) - статистический критерий, используемый для нахождения автокорреляции первого порядка элементов исследуемой последовательности. Наиболее часто применяется при анализе временных рядов и остатков регрессионных моделей. Критерий назван в честь Джеймса Дарбина и Джеффри Уотсона. Критерий Дарбина - Уотсона рассчитывается по следующей формуле

где ρ1 - коэффициент автокорреляции первого порядка.

В случае отсутствия автокорреляции d = 2, при положительной автокорреляции d стремится к нулю, а при отрицательной - к 4:

На практике применение критерия Дарбина - Уотсона основано на сравнении величины d с теоретическими значениями dL и dU для заданных числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости α.

Если d < dL, то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно присутствует положительная автокорреляция);

Если d > dU, то гипотеза не отвергается;

Если dL < d < dU, то нет достаточных оснований для принятия решений.

Когда расчетное значение d превышает 2, то с dL и dU сравнивается не сам коэффициент d, а выражение (4 − d).

Также с помощью данного критерия выявляют наличие коинтеграции между двумя временными рядами. В этом случае проверяют гипотезу о том, что фактическое значение критерия равно нулю. С помощью метода Монте-Карло были получены критические значения для заданных уровней значимости. В случае, если фактическое значение критерия Дарбина - Уотсона превышает критическое, то нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции отвергают.

Недостатки :

Не способен выявлять автокорреляцию второго и более высоких порядков.

Даёт достоверные результаты только для больших выборок.

13. Соизмеримые показатели тесноты связи

К соизмеримым показателям тесноты связи относятся:

1) коэффициенты частной эластичности;

2) стандартизированные частные коэффициенты регрессии;

3) частный коэффициент детерминации.

Если факторные переменные имеют несопоставимые единицы измерения, то связь между ними измеряется с помощью соизмеримых показателей тесноты связи. С помощью соизмеримых показателей тесноты связи характеризуется степень зависимости между факторной и результативной переменными в модели множественной регрессии.

Коэффициент частной эластичности рассчитывается по формуле:

– среднее значение факторной переменной xi по выборочной совокупности,

– среднее значение результативной переменной у по выборочной совокупности;

– первая производная результативной переменной у по факторной переменной х.

Частный коэффициент эластичности измеряется в процентах и характеризует объём изменения результативной переменной у при изменении на 1 % от среднего уровня факторной переменной xiпри условии постоянства всех остальных факторных переменных, включённых в модель регрессии.

Для линейной модели регрессии частный коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

где βi– коэффициент модели множественной регрессии.

Для того чтобы рассчитать стандартизированные частные коэффициенты регрессии, необходимо построить модель множественной регрессии в стандартном (нормированном) масштабе. Это означает, что все переменные, включённые в модель регрессии, стандартизируются с помощью специальных формул. Посредством процесса стандартизации точкой отсчёта для каждой нормированной переменной устанавливается её среднее значение по выборочной совокупности. При этом в качестве единицы измерения стандартизированной переменной принимается её среднеквадратическое отклонение β.

Факторная переменная х переводится в стандартизированный масштаб по формуле:

где xij – значение переменной xj в i-том наблюдении;

G(xj) – среднеквадратическое отклонение факторной переменной xi;

Результативная переменная у переводится в стандартизированный масштаб по формуле:

где G(y) – среднеквадратическое отклонение результативной переменной у.

Стандартизированные частные коэффициенты регрессии характеризуют, на какую долю своего среднеквадратического отклонения G(y) изменится результативная переменная у при изменении факторной переменной х на величину своего среднеквадратического отклонения G(x), при условии постоянства всех остальных факторных переменных, включённых в модель регрессии.

Стандартизированный частный коэффициент регрессии характеризует степень непосредственной или прямой зависимости между результативной и факторной переменными. Но в связи с тем, что между факторными переменными, включёнными в модель множественной регрессии, существует зависимость, факторная переменная оказывает не только прямое, но и косвенное влияние на результативную переменную.

Частный коэффициент детерминации используется для характеристики степени косвенного влияния факторной переменной х на результативную переменную у:

где βi– стандартизированный частный коэффициент регрессии;

r(xixj) – коэффициент частной корреляции между факторными переменными xi и xj.

Частный коэффициент детерминации характеризует, на сколько процентов вариация результативной переменной вызвана вариацией i-ой факторной переменной, включённой в модель множественной регрессии, при условии постоянства всех остальных факторных переменных, включённых в модель регрессии.

Стандартизированные частные коэффициенты регрессии и частные коэффициенты эластичности могут давать различные результаты. Это несовпадение может быть объяснено, например, слишком большой величиной среднеквадратического отклонения одной из факторных переменных или эффектом неоднозначного воздействия одной из факторных переменных на результативную переменную.