Квадратичная и кубическая функции. Графики и основные свойства элементарных функций

Парабола. График квадратичной функции () представляет собой параболу. Рассмотрим канонический случай:

Вспоминаем некоторые свойства функции .

Область определения – любое действительное число (любое значение «икс»). Что это значит? Какую бы точку на оси мы не выбрали – для каждого «икс» существует точка параболы. Математически это записывается так: . Область определения любой функции стандартно обозначается через или . Буква обозначает множество действительных чисел или, проще говоря, «любое икс» (когда работа оформляется в тетради, пишут не фигурную букву , а жирную букву R ).

Область значений – это множество всех значений, которые может принимать переменная «игрек». В данном случае: – множество всех положительных значений, включая ноль. Область значений стандартно обозначается через или .

Функция является чётной. Если функция является чётной, то ее график симметричен относительно оси . Это очень полезное свойство, которое заметно упрощает построение графика, в чём мы скоро убедимся. Аналитически чётность функции выражается условием . Как проверить любую функцию на чётность? Нужно вместо подставить в уравнение . В случае с параболой проверка выглядит так: , значит, функция является четной.

Функция не ограничена сверху . Аналитически свойство записывается так: . Вот вам, кстати, и пример геометрического смысла предела функции: если мы будет уходить по оси (влево или вправо) на бесконечность, то ветки параболы (значения «игрек») будут неограниченно уходить вверх на «плюс бесконечность».

При изучении пределов функций желательно понимать геометрический смысл предела.

Я не случайно так подробно расписал свойства функции, все вышеперечисленные вещи полезно знать и помнить при построении графиков функций, а также при исследовании графиков функций.

Пример 2

Построить график функции .

В этом примере мы рассмотрим важный технический вопрос: Как быстро построить параболу? В практических заданиях необходимость начертить параболу возникает очень часто, в частности, при вычислении площади фигуры с помощью определенного интеграла . Поэтому чертеж желательно научиться выполнять быстро, с минимальной потерей времени. Я предлагаю следующий алгоритм построения.

Сначала находим вершину параболы. Для этого берём первую производную и приравниваем ее к нулю:

Если с производными плохо, следует ознакомиться с уроком Как найти производную?

Итак, решение нашего уравнения: – именно в этой точке и находится вершина параболы. Рассчитываем соответствующее значение «игрек»:

Таким образом, вершина находится в точке

Теперь находим другие точки, при этом нагло пользуемся симметричностью параболы. Следует заметить, что функция – не является чётной , но, тем не менее, симметричность параболы никто не отменял.

В каком порядке находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы:

Данный алгоритм построения образно можно назвать «челноком». Возможно, не все врубаются в суть челнока, тогда для сравнения напоминаю известную телепередачу «туды-сюды с Анфисой Чеховой».

Выполним чертеж:

Из рассмотренных графиков вспоминается еще один полезный признак:

Для квадратичной функции () справедливо следующее:

Если , то ветви параболы направлены вверх.

Если , то ветви параболы направлены вниз.

Кубическая парабола

Кубическая парабола задается функцией . Вот знакомый со школы чертеж:

Перечислим основные свойства функции

Область определения – любое действительное число: .

Область значений – любое действительное число: .

Функция является нечётной. Если функция является нечётной, то ее график симметричен относительно начала координат. Аналитически нечётность функции выражается условием . Выполним проверку для кубической функции, для этого вместо «икс» подставим «минус икс»:
, значит, функция является нечетной.

Функция не ограничена . На языке пределов функции это можно записать так: ,

Кубическую параболу тоже эффективнее строить с помощью Анфисы Чеховой алгоритма «челнока»:

Наверняка, вы заметили, в чем ещё проявляется нечетность функции. Если мы нашли, что , то при вычислении уже не нужно ничего считать, автоматом записываем, что . Эта особенность справедлива для любой нечетной функции.

Теперь немного поговорим о графиках многочленов.

График любого многочлена третьей степени () принципиально имеет следующий вид:

В этом примере коэффициент при старшей степени , поэтому график развёрнут «наоборот». Принципиально такой же вид имеют графики многочленов 5-ой, 7-ой, 9-ой и других нечетных степеней. Чем выше степень, тем больше промежуточных «загибулин».

Многочлены 4-ой, 6-ой и других четных степеней имеют график принципиально следующего вида:

Эти знания полезны при исследовании графиков функций.

График функции

Выполним чертеж:

Основные свойства функции :

Область определения: .

Область значений: .

То есть, график функции полностью находится в первой координатной четверти.

Функция не ограничена сверху . Или с помощью предела:

При построении простейших графиков с корнями также уместен поточечный способ построения, при этом выгодно подбирать такие значения «икс», чтобы корень извлекался нацело:

На самом деле хочется разобрать еще примеры с корнями, например, , но они встречаются значительно реже. Я ориентируюсь на более распространенные случаи, и, как показывает практика, что-нибудь вроде приходиться строить значительно чаще. Если возникнет необходимость выяснить, как выглядят графики с другими корнями, то, рекомендую заглянуть в школьный учебник или математический справочник.

График гиперболы

Опять же вспоминаем тривиальную «школьную» гиперболу .

Выполним чертеж:

Основные свойства функции :

Область определения: .

Область значений: .

Запись обозначает: «любое действительное число, исключая ноль»

В точке функция терпит бесконечный разрыв. Или с помощью односторонних пределов: , . Немного поговорим об односторонних пределах. Запись обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси к нулю слева . Как при этом ведёт себя график? Он уходит вниз на минус бесконечность, бесконечно близко приближаясь к оси . Именно этот факт и записывается пределом . Аналогично, запись обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси к нулю справа . При этом ветвь гиперболы уходит вверх на плюс бесконечность,бесконечно близко приближаясь к оси . Или коротко: .

Функция y=x^2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Квадратичная функция

Рис 1. Общий вид параболы

Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.

Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).

Основные свойства квадратичной функции

1. При х =0, у=0, и у>0 при х0

2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.

3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке }