Одной из задач анализа рядов динамики, является установление закономерностей изменения уровней изучаемого показателя во времени.

В некоторых случаях эта закономерность развития объекта вполне ясно отображается уровнями динамического ряда. Однако часто приходится встречаться с такими рядами динамики, когда уровни ряда претерпевают самые различные изменения. В подобных случаях для определения основной тенденции развития, достаточно устойчивой на протяжении данного периода, используют особые приёмы обработки рядов динамики.

Уровни ряда динамики формируются под совокупным влиянием множества длительных и кратковременных факторов, в том числе различных, случайных обстоятельств. В то же время выявление основной тенденции изменения уровня ряда предполагает её количественное выражение, которое свободно от случайных воздействий. Существуют различные методы выявления тенденции развития динамики. Одним из приёмов выявления основной тенденции является метод укрупнения интервалов. Этот способ основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д.

Другой метод - метод подвижной (скользящей) средней. Суть метода состоит в замене исходных уровней средними арифметическими за определённые периоды. При этом сначала для временного ряда определяется интервал сглаживания . Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим; интервал сглаживания уменьшают, если нежно сохранить более мелкие колебания. При прочих равных условиях интервал сглаживания рекомендуется брать нечетным. Процесс сглаживания, для первых уровней динамического ряда вычисляется их средняя арифметическая; это будет сглаженное значение уровня ряда, находящегося в средине интервала сглаживания. Затем интервал сглаживания сдвигается на один уровень вправо, повторяется вычисление средней арифметической и т. д. Для вычисления сглаженных уровней временного ряда применяется формула:

(5.6)

В результате такой процедуры получаются сглаженных значений уровней ряда; при этом первые уровней и последние уровней ряда теряются (не сглаживаются).

К этому методу сглаживания (выравнивания) примыкает экспоненциальное сглаживание. Особенность данного метода заключается в том, что в процедуре нахождения сглаженного уровня используются значения только предшествующих уровней ряда, взятые с определенным весом. Если для исходного динамического ряда соответствующие сглаженные значения уровней обозначить через , , то экспоненциальное сглаживание осуществляется по формуле:

где параметр сглаживания; называется коэффициентом дисконтирования.

Используя приведенное выше рекуррентное соотношение (5.7) для всех уровней ряда, начиная с первого и кончая моментом времени , можно получить, что экспоненциальная средняя, т. е. сглаженное данным методом значение уровня ряда, является взвешенной средней всех предшествующих уровней:

, (5.8)

где величина, характеризующая начальные условия.

В практических задачах обработки экономических времен­ных рядов рекомендуется (необоснованно) выбирать величину параметра сглаживания в интервале от 0,1 до 0,3. Других точ­ных рекомендаций для выбора оптимальной величины пара­метра пока нет. В отдельных случаях Р. Браун предлагает определять величину исходя из длины сглаживаемого ряда:

Что касается начального параметра So, то в конкретных задачах его берут или равным значению первого уровня ряда , или равным средней арифметической нескольких первых членов ряда, например, членов :

Указанный выше порядок выбора величины So обеспе­чивает хорошее согласование сглаженного и исходного ря­дов для первых уровней. Если при подходе к правому концу временного ряда сглаженные этим методом значения при выбранном параметре начинают значительно отличаться от соответствующих значений исходного ряда, необходимо перейти на другой параметр сглаживания. Заметим, что при этом методе сглаживания не теряются ни начальные, ни ко­нечные уровни сглаживаемого временного ряда.

Боярышник обыкновенный Боярышник обыкновенный Научная классификация Царство: Растения … Википедия

Экспоненциальное сглаживание метод математического преобразования используемый при прогнозировании временных рядов … Википедия

Индикатор Стохастик - (Stochastic Oscillator) Стохастический осциллятор, описание Stochastic, версии трендового индикатора Stochastic, Торговые сигналы индикатора Стохастик Добавление индикатора Stochastics на график торгового терминала Metatrader (MT), настройка… … Энциклопедия инвестора

Содержание: I. Физический очерк. 1. Состав, пространство, береговая линия. 2. Орография. 3. Гидрография. 4. Климат. 5. Растительность. 6. Фауна. II. Население. 1. Статистика. 2. Антропология. III. Экономический очерк. 1. Земледелие. 2.… …

I КАРТА ЯПОНСКОЙ ИМПЕРИИ. Содержание: I. Физический очерк. 1. Состав, пространство, береговая линия. 2. Орография. 3. Гидрография. 4. Климат. 5. Растительность. 6. Фауна. II. Население. 1. Статистика. 2. Антропология. III. Экономический очерк. 1 … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

I Урал территория, расположенная между Восточно Европейской и Западно Сибирской равнинами и вытянутая с С. на Ю. от Сев. Ледовитого океана до широтного участка р. Урал ниже г. Орска. Основной частью её является Уральская горная система,… …

Схизейные травянистые, реже лиановидные папоротники, преимущественно тропические и субтропические. Лишь немногие виды встречаются в умеренных областях Северной Америки и Японии, Чили, Новой Зеландии, Тасмании и Южной Африки. Схизейные,… … Биологическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Поза (значения). Поза (из фр. pose через немецкий, ранее из лат. pono (супин positum) «класть, ставить») положение, принимаемое человеческим телом, положение тела, головы и… … Википедия

Поза (лат. positum класть, ставить; fr: pose) положение, принимаемое человеческим телом, положение тела, головы и конечностей по отношению к друг другу. Содержание 1 Общая характеристика позы … Википедия

Урал, территория, расположенная между Восточно Европейской и Западно Сибирской равнинами и вытянутая с С. на Ю. от Сев. Ледовитого океана до широтного участка р. Урал ниже г. Орска. Основной частью её является Уральская горная система,… … Большая советская энциклопедия

Механическое сглаживание по скользящим средним

Методы сглаживания временных рядов

Очень часто уровни экономических рядов динамики колеблются. При этом тенденция развития экономического явления во времени скрыта случайными отклонениями значений ряда в ту или иную сторону. С целью более чёткого выявления тенденции развития исследуемого процесса производят сглаживание (выравнивание) временных рядов экономических показателей. Суть различных методов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчётными значениями, которые подвержены колебаниям в меньшей степени. Это способствует чёткому проявлению тенденции.

Методы сглаживания временных рядов делятся на две основные группы :

1) аналитическое выравнивание с использованием кривой, проведённой между конкретными уровнями ряда так, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освобождала его от незначительных колебаний;

2) механическое выравнивание отдельных уровней временного ряда с использованием фактических значений соседних уровней.

Суть методов аналитического сглаживания основана на том математическом правиле, что через любые n точек, лежащих на плоскости, можно провести полином минимум (n – 1) степени так, что он будет проходить через все обозначенные точки.

Суть методов механического сглаживания заключается в том, что берётся несколько уровней ряда динамики, образующих интервал сглаживания. Для них подбирается полином, степень которого должна быть меньше числа уровней, входящих в интервал сглаживания. С помощью полинома определяются сглаженные значения уровней ряда в середине интервала сглаживания. Далее интервал сглаживания сдвигается на одно наблюдение вперёд, вычисляется следующее сглаженное значение и т.д.

Механическое сглаживание по скользящим средним

Самым простым методом механического сглаживания является сглаживание по простой скользящей средней . Метод называется так потому, что в его основе лежит вычисление простого среднего значения нескольких уровней ряда. Простое среднее скользит вдоль ряда динамики с шагом равным периоду наблюдений.

Сначала для временного ряда y t определяется интервал сглаживания m , причём m < n . Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим; интервал сглаживания уменьшают, если нужно сохранить более мелкие колебания. Чем шире интервал сглаживания, тем в большей степени взаимопогашаются колебания, и тенденция развития носит более плавный характер. Чем сильнее колебания, тем шире должен быть интервал сглаживания. При одинаковых условиях рекомендуется использовать интервал сглаживания нечётной длины. Для первых m уровней временного ряда вычисляется их средняя арифметическая; это будет сглаженное значение уровня ряда, находящегося в середине интервала сглаживания.

Для вычисления сглаженных значений используется формула:

где m = 2·p + 1 – интервал сглаживания временного ряда нечётной длины. В результате такой процедуры получаются (n – m + 1)

Процедуру сглаживания можно применять и для интервала сглаживания чётной длины. Особенно это актуально для анализа и прогнозирования явлений, имеющих сезонные колебания. При сглаживании сезонных процессов интервал сглаживания обязательно должен быть равен длине сезонной волны. В противном случае произойдёт искажение компонент временного ряда, в особенности, компоненты v t . В случае, когда используется интервал сглаживания чётной длины, т.е. m = 2·p , применяется формула:

(4.2).

В результате данной процедуры получаются (n – m) сглаженных значений уровней ряда.

В любом случае первые и последние p значений ряда не сглаживаются . Потерянные сглаженные значения уровней временного ряда находятся с помощью использования показателя среднего абсолютного прироста, найденного для первого и последнего интервалов сглаживания. Для восстановления потерянных наблюдений в начале временного ряда значение величины среднего абсолютного прироста, найденное для первого интервала сглаживания, вычитается из первого сглаженного значения. Получается сглаженное значение уровня ряда для y p y 1 . Для восстановления потерянных наблюдений в конце временного ряда значение величины среднего абсолютного прироста, найденное для последнего интервала сглаживания, прибавляется к последнему сглаженному значению. Получается сглаженное значение уровня ряда для y n – p + 1 . Далее алгоритм повторяется до получения сглаженного значения y n .

Ещё один недостаток метода простой скользящей средней заключается в том, что он может использоваться лишь для рядов, имеющих линейную тенденцию. Если для процесса характерно нелинейное развитие и необходимо сохранить изгибы тенденции, то применение простой скользящей средней нецелесообразно, т.к. это может привести к существенным искажениям. В таких случаях используется метод взвешенной скользящей средней.

Метод взвешенной скользящей средней отличается от метода простой скользящей средней тем, что уровни, входящие в интервал сглаживания, суммируются с разными весами. Это связано с тем, что аппроксимация исходного ряда в пределах интервала сглаживания осуществляется с использованием полинома не первой степени, как в методе простой скользящей средней, а степени, начиная со второй. Используется формула средней арифметической взвешенной.

Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является сглаживание временного ряда. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые подвержены колебаниям в меньшей степени. Это способствует более четкому проявлению тенденци и развития. Иногда сглаживание применяют как предварительный этап перед использованием других методов выделения тенденции

Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса, и поэтому, являются важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.

Если рассматриваемое явление носит линейный характер, то применяется простая скользящая средняя. Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующей последовательности шагов:

1. Определяют длину интервала сглаживания g, включающего в себя g последовательных уровней ряда (g

2. Разбивают весь период наблюдений на участки, при этом интервал сглаживания как бы скользит по ряду с шагом, равным 1.

3. Рассчитывают арифметические средние из уровней ряда, образующих каждый участок.

4. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующие средние значения.

При этом удобно брать длину интервала сглаживания g в виде нечетного числа: g=2p+1, т.к. в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала.

Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения, называются активным участком сглаживания.

При нечетном значении g все уровни активного участка могут быть представлены в виде: yt-p, yt-p+1, ... , yt-1, yt, yt+1, ... , yt+p-1, yt+p,

а скользящая средняя определена по формуле:

Процедура сглаживания приводит к полному устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной циклу, периоду колебаний.

Для устранения сезонных колебаний желательно было бы использовать четырех- и двенадцатичленную скользящие средние, но при этом не будет выполняться условие нечетности длины интервала сглаживания. Поэтому при четном числе уровней принято первое и последнее наблюдение на активном участке брать с половинными весами:

Тогда для сглаживания сезонных колебаний при работе с временными рядами квартальной или месячной динамики можно использовать следующие скользящие средние:

При использовании скользящей средней с длиной активного участка g=2p+1 первые и последние p уровней ряда сгладить нельзя, их значения теряются. Очевидно, что потеря значений последних точек является существенным недостатком, т.к. для исследователя последние "свежие" данные обладают наибольшей информационной ценностью. Рассмотрим один из приемов, позволяющих восстановить потерянные значения временного ряда . Для этого необходимо:

1.Вычислить средний прирост на последнем активном участке yt-p, yt-p+1, ... , yt, ... , yt+p-1, yt+p

2.Получить P сглаженных значений в конце временного ряда путем последовательного прибавления среднего абсолютного прироста к последнему сглаженному значению.

Аналогичную процедуру можно реализовать для оценивания первых уровней временного ряда.

Метод простой скользящей средней применим, если графическое изображение динамического ряда напоминает прямую. Когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы, и для исследователя желательно сохранить мелкие волны, применение простой скользящей средней нецелесообразно.

Если для процесса характерно нелинейное развитие, то простая скользящая средняя может привести к существенным искажениям. В этих случаях более надежным является использование взвешенной скользящей средней.

При построении взвешенной скользящей средней на каждом участке сглаживания значение центрального уровня заменяется на расчетное, определяемое по формуле средней арифметической взвешенной, т.е. уровни ряда взвешивают.

Взвешенная скользящая средняя приписывает каждому уровню вес, зависящий от удаления данного уровня до уровня, стоящего в середине участка сглаживания.

При сглаживании по взвешенной скользящей средней используются полиномы второго (парабола) или третьего порядка.

Сглаживание с помощью взвешенной скользящей средней осуществляется следующим образом: для каждого участка сглаживания подбирается полином вида:

Y i = a j + a 1 t

Y i = a o + a 1 t + a 2 t 2 +… a p t p

Параметры полинома находятся по методу наименьших квадратов.

При этом начало отсчета переносится в середину участка сглаживания, например, если длина интервалов сглаживания = 5, то индексы уровней участка сглаживания будут равны: -2, -1, 0, 1, 2.

Тогда сглаживающим значением для уровня, стоящего в середине участка сглаживания, будет значение параметра а 0 .

Нет необходимости каждый раз заново вычислять весовые коэффициенты при уровнях ряда, входящих в участок сглаживания, поскольку они будут одинаковыми для каждого участка сглаживания, например, если в интервал сглаживания входит 5 последующих уровней ряда и выравнивание производится по параболе, то коэффициенты параболы находят по методу наименьших квадратов, учитывая, что t = 0.

Метод наименьших квадратов в этой ситуации дает следующую систему уравнений:

Для нахождения параметра а0 используют 1 и 3 уравнение

-

34-=5*34а0-10*10а0

34-=а0(170-100)

а0=

Если длина интервала сглаживания равна 7, весовые коэффициенты следующие:

Отметим важные свойства приведенных весов:

1) Они симметричны относительно центрального уровня.

2) Сумма весов с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице.

3) Наличие как положительных, так и отрицательных весов, позволяет сглаженной кривой сохранять различные изгибы кривой тренда.

Существуют приемы, позволяющие с помощью дополнительных вычислений получить сглаженные значения для Р начальных и конечных уровней ряда при длине интервала сглаживания g=2p+1.

Весовые коэффициенты при сглаживании по полиномам второго и третьего порядка

Тема 5: Методы измерения и изучения устойчивости временного ряда.

o устойчивость уровней ряда;

o устойчивость тренда.

Согласно статистической теории, статистический показатель содержит в себе элементы необходимого и случайного. Необходимость проявляется в форме тенденции временных рядов, а случайность в форме колебаний уровней относительно тренда. Тенденцией характеризуется процесс эволюции.

Расчленение временных рядов на составляющие элементы – условный описательный прием. Тем не менее, решающим фактором, обусловливающим тенденцию является целенаправленная деятельность человека, а главной причиной колеблемости – изменение условий жизнедеятельности.

Отсюда следует, что устойчивость не означает обязательного повторения одинакового уровня из года в год. Слишком узким было понятие устойчивости ряда как полное отсутствие любых колебаний уровней.

Сокращение колебаний уровней ряда – одна из главных задач при повышении устойчивости.

Устойчивость временных рядов - это наличие необходимой тенденции изучаемого показателя с минимальным влиянием на него неблагоприятных условий.

Для измерения устойчивости уровней временных рядов используют следующие показатели:

1) размах колеблемости - определяется как разница средних уровней за благоприятные и неблагоприятные по отношению к изучаемому явлению периоды времени:

R=y благопр – унеблагопр

К благоприятным периодам времени относятся все периоды с уровнями выше тренда, а к неблагоприятным – ниже тренда.

3)среднее линейное отклонение:

1) среднее квадратическое отклонение:

S(t)=

Уменьшение колеблемости во времени будет равнозначно устойчивости уровней.

Для характеристики устойчивости рекомендуются также следующие показатели:

1) процентный размах (PR):

Wmax/min – max/min относительный прирост.

W=

2) Скользящая средняя (МА) оценивает величину среднего отклонения от уровня скользящих средних (хt):

3) Среднее процентное изменение (АРС) оценивает среднее значение абсолютных величин, относительных приростов и квадратов относительных приростов:

АРС=

Для оценки устойчивости уровней временных рядов применяются относительные показатели колеблемости:

K=100 – V(t) – коэффициент устойчивости (в процентах или долях единиц).

Для измерения устойчивости тенденции динамики (тренда) используют следующие показатели:

1) коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена):

d - разность рангов уровней изучаемого ряда и рангов номеров периодов или моментов времени.

Для определения этого коэффициента величины уровней нумеруют в порядке возрастания, а при наличии одинаковых уровней им присваивается определенный ранг равный частному от деления рангов, приходящихся на число этих равных значений.

Коэффициент Спирмена может принимать значения в пределах от 0 до ±1. Если каждый уровень исследуемого периода выше, чем предыдущего, то ранги уровней ряда и номера лет совпадают – Кр=+1. Это означает полную устойчивость самого факта роста уровней ряда, то есть непрерывность роста. Чем ближе Кр к +1, тем ближе рост уровней к непрерывному, то есть выше устойчивости роста. Если Кр=0, рост совершенно неустойчив.

При отрицательных значениях чем ближе Кр к -1, тем устойчивее уменьшение изучаемого показателя.

I=

Индекс корреляции показывает степень сопряженности колебаний исследуемых показателей с совокупностью факторов, изменяющих их во времени. Приближение индекса корреляции к 1 означает, большую устойчивость изменения уровней временных рядов.

Число уровней ряда у двух показателей должно быть одинаково.

Применяются также комплексные показатели устойчивости , сущность которых заключается в определении их не через уровни временных рядов, а через показатели их динамики.

1. Показатель Каякиной определяется как отношение среднего прироста линейного тренда, т.е. параметра а1 к среднему квадратическому отклонению уровней от тренда:

Чем больше величина этого показателя, тем менее вероятно, что уровень ряда в следующем периоде будет меньше предыдущего.

2. Показатель опережения, который получают, сопоставляя темпы роста уровней ряда с темпами значения колеблемости:

Если показатель опережения > 1, то это свидетельствует о том, что уровни ряда в среднем растут быстрее колебаний или снижаются медленнее колебаний. В таком случае коэффициент колеблемости уровней будет уменьшаться, а коэффициент устойчивости уровней увеличиваться. Если показатель опережения меньше 1, то колебания растут быстрее уровней тренда и коэффициент колеблемости растет, а коэффициент устойчивости уровней уменьшается, то есть показатель опережения определяет направление динамики коэффициента устойчивости уровней.

Углубленный анализ временных рядов требует использования более сложных методик математической статистики. При наличии в динамических рядах значительной случайной ошибки (шума) применяют один из двух простых приемов - сглаживание или выравнивание путем укрупнения интервалови вычисления групповых средних. Этот метод позволяет повысить наглядность ряда, если большинство «шумовых» составляющих находятся внутри интервалов. Однако, если «шум» не согласуется с периодичностью, распределение уровней показателей становится грубым, что ограничивает возможности детального анализа изменения явления во времени.

Более точные характеристики получаются, если используют скользящие средние - широко применяемый способ для сглаживания показателей среднего ряда. Он основан на переходе от начальных значений ряда к средним в определенном интервале времени. В этом случае интервал времени при вычислении каждого последующего показателя как бы скользит по временному ряду.

Применение скользящего среднего полезно при неопределенных тенденциях динамического ряда или при сильном воздействии на показатели циклически повторяющихся выбросов (резко выделяющиеся варианты или интервенция).

Чем больше интервал сглаживания, тем более плавный вид имеет диаграмма скользящих средних. При выборе величины интервала сглаживания необходимо исходить из величины динамического ряда и содержательного смысла отражаемой динамики. Большая величина динамического ряда с большим числом исходных точек позволяет использовать более крупные временные интервалы сглаживания (5, 7, 10 и т.д.). Если процедура скользящего среднего используется для сглаживания не сезонного ряда, то чаще всего величину интервала сглаживания принимают равной 3 или 5. https://tvoipolet.ru/iz-moskvi-v-nyu-jork/ - отличная возможность выбрать авиакомпанию на перелет из Москвы в Нью-Йорк

Приведем пример вычисления скользящего среднего числа хозяйств с высокой урожайностью (более 30 ц/га) (табл. 10.3).

Таблица 10.3 Сглаживание динамического ряда укрупнением интервалов искользящим средним

Примеры вычисления скользящего среднего:

1982 г.(84 + 94 + 92) / 3 = 90,0;

1983 г. (94 + 92 + 83) / 3 = 89,7;

1984 г.(92 + 83 + 91) / 3 = 88,7;

1985 г.(83 + 91 + 88) / 3 = 87,3.

Составляется график. На оси абсцисс указываются годы, на оси ординат - число хозяйств с высокой урожайностью. Указываются координаты числа хозяйств на графике и соединяют полученные точки ломаной линией. Затем указываются координаты скользящей средней по годам на графике и соединяются точки плавной полужирной линией.

Более сложным и результативным методом является сглаживание (выравнивание) рядов динамики с помощью различных функций аппроксимации. Они позволяют формировать плавный уровень общей тенденции и основную ось динамики.

Наиболее эффективным методом сглаживания с помощью математических функций является простое экспоненциальное сглаживание. Этим методом учитываются все предшествующие наблюдения ряда по формуле:

S t = α∙X t + (1 - α ) ∙S t - 1 ,

где S t - каждое новое сглаживание в момент времени t ; S t - 1 - сглаженное значение в предыдущий момент времени t -1; X t - фактическое значение ряда в момент времени t ; α - параметр сглаживания.

Если α = 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются; при величине α = 0 игнорируются текущие наблюдения; значения α между 0 и 1 дают промежуточные результаты. Изменяя значения этого параметраможно подобрать наиболее приемлемый вариант выравнивания. Выбор оптимального значения α осуществляется путем анализа полученных графических изображений исходной и выравненной кривых, либо на основе учета суммы квадратов ошибок (погрешностей) вычисленных точек. Практическое использование этого метода следует проводить с использованием ЭВМ в программе MS Excel . Математическое выражение закономерности динамики данных можно получить с помощью функции экспоненциального сглаживания.