Решение дробных уравнений со степенями. Методы решения показательных уравнений
Решение показательных уравнений. Примеры.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Что такое показательное уравнение ? Это уравнение, в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся в показателях каких-то степеней. И только там! Это важно.
Вот вам примеры показательных уравнений :
3 х ·2 х = 8 х+3
Обратите внимание! В основаниях степеней (внизу) - только числа . В показателях степеней (вверху) - самые разнообразные выражения с иксом. Если, вдруг, в уравнении вылезет икс где-нибудь, кроме показателя, например:
это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Мы их пока рассматривать не будем. Здесь мы будем разбираться с решением показательных уравнений в чистом виде.
Вообще-то, даже чистые показательные уравнения чётко решаются далеко не всегда. Но существуют определённые типы показательных уравнений, которые решать можно и нужно. Вот эти типы мы и рассмотрим.
Решение простейших показательных уравнений.
Для начала решим что-нибудь совсем элементарное. Например:
Даже безо всяких теорий, по простому подбору ясно, что х=2. Больше-то никак, верно!? Никакое другое значение икса не катит. А теперь глянем на запись решения этого хитрого показательного уравнения:
Что мы сделали? Мы, фактически, просто выкинули одинаковые основания (тройки). Совсем выкинули. И, что радует, попали в точку!
Действительно, если в показательном уравнении слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях, эти числа можно убрать и приравнять показатели степеней. Математика позволяет. Остаётся дорешать куда более простое уравнение. Здорово, правда?)
Однако, запомним железно: убирать основания можно только тогда, когда слева и справа числа-основания находятся в гордом одиночестве! Безо всяких соседей и коэффициентов. Скажем, в уравнениях:
2 х +2 х+1 = 2 3 , или
двойки убирать нельзя!
Ну вот, самое главное мы и освоили. Как переходить от злых показательных выражений к более простым уравнениям.
"Вот те раз!" - скажете вы. "Кто ж даст такой примитив на контрольных и экзаменах!?"
Вынужден согласиться. Никто не даст. Но теперь вы знаете, куда надо стремиться при решении замороченных примеров. Надо приводить его к виду, когда слева - справа стоит одно и то же число-основание. Дальше всё будет легче. Собственно, это и есть классика математики. Берём исходный пример и преобразовываем его к нужному нам виду. По правилам математики, разумеется.
Рассмотрим примеры, которые требуют некоторых дополнительных усилий для приведения их к простейшим. Назовём их простыми показательными уравнениями.
Решение простых показательных уравнений. Примеры.
При решении показательных уравнений, главные правила - действия со степенями. Без знаний этих действий ничего не получится.
К действиям со степенями надо добавить личную наблюдательность и смекалку. Нам требуются одинаковые числа-основания? Вот и ищем их в примере в явном или зашифрованном виде.
Посмотрим, как это делается на практике?
Пусть нам дан пример:
2 2х - 8 х+1 = 0
Первый зоркий взгляд - на основания. Они... Они разные! Два и восемь. Но впадать в уныние - рано. Самое время вспомнить, что
Двойка и восьмёрка - родственнички по степени.) Вполне можно записать:
8 х+1 = (2 3) х+1
Если вспомнить формулку из действий со степенями:
(а n) m = a nm ,
то вообще отлично получается:
8 х+1 = (2 3) х+1 = 2 3(х+1)
Исходный пример стал выглядеть вот так:
2 2х - 2 3(х+1) = 0
Переносим 2 3 (х+1) вправо (элементарных действий математики никто не отменял!), получаем:
2 2х = 2 3(х+1)
Вот, практически, и всё. Убираем основания:
Решаем этого монстра и получаем
Это правильный ответ.
В этом примере нас выручило знание степеней двойки. Мы опознали в восьмёрке зашифрованную двойку. Этот приём (шифровка общих оснований под разными числами) - очень популярный приём в показательных уравнениях! Да и в логарифмах тоже. Надо уметь узнавать в числах степени других чисел. Это крайне важно для решения показательных уравнений.
Дело в том, что возвести любое число в любую степень - не проблема. Перемножить, хоть на бумажке, да и всё. Например, возвести 3 в пятую степень сможет каждый. 243 получится, если таблицу умножения знаете.) Но в показательных уравнениях гораздо чаще надо не возводить в степень, а наоборот... Узнавать, какое число в какой степени скрывается за числом 243, или, скажем, 343... Здесь вам никакой калькулятор не поможет.
Степени некоторых чисел надо знать в лицо, да... Потренируемся?
Определить, какими степенями и каких чисел являются числа:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Ответы (в беспорядке, естественно!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Если приглядеться, можно увидеть странный факт. Ответов существенно больше, чем заданий! Что ж, так бывает... Например, 2 6 , 4 3 , 8 2 - это всё 64.
Предположим, что вы приняли к сведению информацию о знакомстве с числами.) Напомню ещё, что для решения показательных уравнений применим весь запас математических знаний. В том числе и из младших-средних классов. Вы же не сразу в старшие классы пошли, верно?)
Например, при решении показательных уравнений очень часто помогает вынесение общего множителя за скобки (привет 7 классу!). Смотрим примерчик:
3 2х+4 -11·9 х = 210
И вновь, первый взгляд - на основания! Основания у степеней разные... Тройка и девятка. А нам хочется, чтобы были - одинаковые. Что ж, в этом случае желание вполне исполнимое!) Потому, что:
9 х = (3 2) х = 3 2х
По тем же правилам действий со степенями:
3 2х+4 = 3 2х ·3 4
Вот и отлично, можно записать:
3 2х ·3 4 - 11·3 2х = 210
Мы привели пример к одинаковым основаниям. И что дальше!? Тройки-то нельзя выкидывать... Тупик?
Вовсе нет. Запоминаем самое универсальное и мощное правило решения всех математических заданий:
Не знаешь, что нужно - делай, что можно!
Глядишь, всё и образуется).
Что в этом показательном уравнении можно сделать? Да в левой части прямо просится вынесение за скобки! Общий множитель 3 2х явно намекает на это. Попробуем, а дальше видно будет:
3 2х (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Пример становится всё лучше и лучше!
Вспоминаем, что для ликвидации оснований нам необходима чистая степень, безо всяких коэффициентов. Нам число 70 мешает. Вот и делим обе части уравнения на 70, получаем:
Оп-па! Всё и наладилось!
Это окончательный ответ.
Случается, однако, что выруливание на одинаковые основания получается, а вот их ликвидация - никак. Такое бывает в показательных уравнениях другого типа. Освоим этот тип.
Замена переменной в решении показательных уравнений. Примеры.
Решим уравнение:
4 х - 3·2 х +2 = 0
Сначала - как обычно. Переходим к одному основанию. К двойке.
4 х = (2 2) х = 2 2х
Получаем уравнение:
2 2х - 3·2 х +2 = 0
А вот тут и зависнем. Предыдущие приёмы не сработают, как ни крутись. Придётся доставать из арсенала ещё один могучий и универсальный способ. Называется он замена переменной.
Суть способа проста до удивления. Вместо одного сложного значка (в нашем случае - 2 х) пишем другой, попроще (например - t). Такая, казалось бы, бессмысленная замена приводит к потрясным результатам!) Просто всё становится ясным и понятным!
Итак, пусть
Тогда 2 2х = 2 х2 = (2 х) 2 = t 2
Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t:
Ну что, осеняет?) Квадратные уравнения не забыли ещё? Решаем через дискриминант, получаем:
Тут, главное, не останавливаться, как бывает... Это ещё не ответ, нам икс нужен, а не t. Возвращаемся к иксам, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t 1:
Стало быть,
Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
Гм... Слева 2 х, справа 1... Неувязочка? Да вовсе нет! Достаточно вспомнить (из действий со степенями, да...), что единичка - это любое число в нулевой степени. Любое. Какое надо, такое и поставим. Нам нужна двойка. Значит:
Вот теперь всё. Получили 2 корня:
Это ответ.
При решении показательных уравнений в конце иногда получается какое-то неудобное выражение. Типа:
Из семёрки двойка через простую степень не получается. Не родственники они... Как тут быть? Кто-то, может и растеряется... А вот человек, который прочитал на этом сайте тему "Что такое логарифм?" , только скупо улыбнётся и запишет твёрдой рукой совершенно верный ответ:
Такого ответа в заданиях "В" на ЕГЭ быть не может. Там конкретное число требуется. А вот в заданиях "С" - запросто.
В этом уроке приведены примеры решения самых распространённых показательных уравнений. Выделим основное.
Практические советы:
1. Первым делом смотрим на основания степеней. Соображаем, нельзя ли их сделать одинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!
2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То что можно посчитать в числах - считаем.
3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего - квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.
4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать "в лицо".
Как обычно, в конце урока вам предлагается немного порешать.) Самостоятельно. От простого - к сложному.
Решить показательные уравнения:
Посложнее:
2 х+3 - 2 х+2 - 2 х = 48
9 х - 8·3 х = 9
2 х - 2 0,5х+1 - 8 = 0
Найти произведение корней:
2 3-х + 2 х = 9
Получилось?
Ну, тогда сложнейший пример (решается, правда, в уме...):
7 0.13х + 13 0,7х+1 + 2 0,5х+1 = -3
Что, уже интереснее? Тогда вот вам злой пример. Вполне тянет на повышенную трудность. Намекну, что в этом примере спасает смекалка и самое универсальное правило решения всех математических заданий.)
2 5х-1 · 3 3х-1 · 5 2х-1 = 720 х
Пример попроще, для отдыха):
9·2 х - 4·3 х = 0
И на десерт. Найти сумму корней уравнения:
х·3 х - 9х + 7·3 х - 63 = 0
Да-да! Это уравнение смешанного типа! Которые мы в этом уроке не рассматривали. А что их рассматривать, их решать надо!) Этого урока вполне достаточно для решения уравнения. Ну и, смекалка нужна... И да поможет вам седьмой класс (это подсказка!).
Ответы (в беспорядке, через точку с запятой):
1; 2; 3; 4; решений нет; 2; -2; -5; 4; 0.
Всё удачно? Отлично.
Есть проблемы? Не вопрос! В Особом разделе 555 все эти показательные уравнения решаются с подробными объяснениями. Что, зачем, и почему. Ну и, конечно, там имеется дополнительная ценная информация по работе со всякими показательными уравнениями. Не только с этими.)
Последний забавный вопрос на соображение. В этом уроке мы работали с показательными уравнениями. Почему я здесь ни слова не сказал про ОДЗ? В уравнениях - это очень важная штука, между прочим...
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Лекция: «Методы решения показательных уравнений».
1 . Показательные уравнения.
Уравнения, содержащие неизвестные в показателе степени, называются показательными уравнениями. Простейшим из них является уравнение аx = b, где а > 0, а ≠ 1.
1) При b < 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) При b > 0 используя монотонность функции и теорему о корне, уравнение имеет единственный корень. Для того, чтобы его найти, надо b представить в виде b = aс, аx = bс ó x = c или x = logab.
Показательные уравнения путем алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнения, которые решаются, используя следующие методы:
1) метод приведения к одному основанию ;
2) метод оценки;
3) графический метод;
4) метод введения новых переменных;
5) метод разложения на множители;
6) показательно – степенные уравнения;
7) показательные с параметром.
2 . Метод приведения к одному основанию.
Способ основан на следующем свойстве степеней: если равны две степени и равны их основания, то равны и их показатели, т. е. уравнение надо попытаться свести к виду
Примеры. Решить уравнение:
1 . 3x = 81;
Представим правую часть уравнения в виде 81 = 34 и запишем уравнение, равносильное исходному 3 x = 34; x = 4. Ответ: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">и перейдем к уравнению для показателей степеней 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5. Ответ: 0,5.
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
Заметим, что числа 0,2 , 0,04 , √5 и 25 представляют собой степени числа 5. Воспользуемся этим и преобразуем исходное уравнение следующим образом:
, откуда 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, из которого находим решение x = -1. Ответ: -1.
5. 3x = 5. По определению логарифма x = log35. Ответ: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Перепишем уравнение в виде 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, т. е..png" width="181" height="49 src="> Отсюда x – 4 =0, x = 4. Ответ: 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Используя свойства степеней, запишем уравнение в виде 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 далее 3∙3x = 9, 3x+1 = 32 , т. е. x+1 = 2, x =1. Ответ: 1.
Банк задач №1.
Решить уравнение:
Тест №1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
А2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
А3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) корней нет |
1) 7;1 2) корней нет 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
А5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
А6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Тест №2
А1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
А2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
А3 | 1) 2;-1 2) корней нет 3) 0 4) -2;1 |
А4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
А5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Метод оценки.
Теорема о корне : если функция f(x) возрастает (убывает) на промежутке I, число а –любое значение принимаемое f на этом промежутке, тогда уравнение f(x) = а имеет единственный корень на промежутке I.
При решении уравнений методом оценки используется эта теорема и свойства монотонности функции.
Примеры. Решить уравнения: 1. 4x = 5 – x.
Решение. Перепишем уравнение в виде 4x +x = 5.
1. если x = 1, то 41+1 = 5 , 5 = 5 верно, значит 1 – корень уравнения.
Функция f(x) = 4x – возрастает на R, и g(x) = x –возрастает на R => h(x)= f(x)+g(x) возрастает на R, как сумма возрастающих функций, значит x = 1 – единственный корень уравнения 4x = 5 – x. Ответ: 1.
2.
Решение. Перепишем уравнение в виде .
1. если x = -1, то , 3 = 3-верно, значит x = -1 – корень уравнения.
2. докажем, что он единственный.
3. Функция f(x) = - убывает на R, и g(x) = - x – убывает на R=> h(x) = f(x)+g(x) – убывает на R, как сумма убывающих функций. Значит по теореме о корне, x = -1 – единственный корень уравнения. Ответ: -1.
Банк задач №2. Решить уравнение
а) 4x + 1 =6 – x;
б)
в) 2x – 2 =1 – x;
4. Метод введения новых переменных.
Метод описан в п. 2.1. Введение новой переменной (подстановка) обычно производится после преобразований (упрощения) членов уравнения. Рассмотрим примеры.
Примеры. Р ешить уравнение: 1. .
Перепишем уравнение иначе: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> т. е..png" width="210" height="45">
Решение. Перепишем уравнение иначе:
Обозначим https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - не подходит.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - иррациональное уравнение. Отмечаем, что
Решением уравнения является x = 2,5 ≤ 4, значит 2,5 – корень уравнения. Ответ: 2,5.
Решение. Перепишем уравнение в виде и разделим его обе части на 56x+6 ≠ 0. Получим уравнение
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, т..png" width="118" height="56">
Корни квадратного уравнения – t1 = 1 и t2 <0, т. е..png" width="200" height="24">.
Решение. Перепишем уравнение в виде
и заметим, что оно является однородным уравнением второй степени.
Разделим уравнение на 42x, получим
Заменим https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Ответ: 0; 0,5.
Банк задач № 3. Решить уравнение
б)
г)
Тест № 3 с выбором ответа. Минимальный уровень.
А1 | 1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) корней нет 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
А4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) корней нет 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Тест № 4 с выбором ответа. Общий уровень.
А1 | 1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0 |
А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
А5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) корней нет |
5. Метод разложения на множители.
1. Решите уравнение: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Решение..png" width="169" height="69"> , откуда
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Решение. Вынесем за скобки в левой части уравнения 6x, а в правой части – 2x. Получим уравнение 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.
Так как 2x >0 при всех x, можно обе части этого уравнения разделить на 2x, не опасаясь при этом потери решений. Получим 3x = 1ó x = 0.
3.
Решение. Решим уравнение методом разложения на множители.
Выделим квадрат двучлена
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 – корень уравнения.
Уравнение x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
А1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
А2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
А3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
А5 2x -2x-4 = 15. x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Тест № 6 Общий уровень.
А1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2 |
А2 | 1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
А3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
А4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
А5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Показательно – степенные уравнения.
К показательным уравнениям примыкают так называемые показательно – степенные уравнения, т. е. уравнения вида (f(x))g(x) = (f(x))h(x).
Если известно, что f(x)>0 и f(x) ≠ 1, то уравнение, как и показательное, решается приравниванием показателей g(x) = f(x).
Если условием не исключается возможность f(x)=0 и f(x)=1, то приходится рассматривать и эти случаи при решении показательно – степенного уравнения.
1..png" width="182" height="116 src=">
2.
Решение. x2 +2x-8 – имеет смысл при любых x, т. к. многочлен, значит уравнение равносильно совокупности
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
б)
7. Показательные уравнения с параметрами.
1. При каких значениях параметра p уравнение 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) имеет единственное решение?
Решение. Введем замену 2x = t, t > 0, тогда уравнение (1) примет вид t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)
Дискриминант уравнения (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
Уравнение (1) имеет единственное решение, если уравнение (2) имеет один положительный корень. Это возможно в следующих случаях.
1. Если D = 0, то есть p = 1, тогда уравнение (2) примет вид t2 – 2t + 1 = 0, отсюда t = 1, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение x = 0.
2. Если p1, то 9(p – 1)2 > 0, тогда уравнение (2) имеет два различных корня t1 = p, t2 = 4p – 3. Условию задачи удовлетворяет совокупность систем
Подставляя t1 и t2 в системы, имеем
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?
Решение. Пусть тогда уравнение (3) примет вид t2 – 6t – a = 0. (4)
Найдем значения параметра a, при которых хотя бы один корень уравнения (4) удовлетворяет условию t > 0.
Введем функцию f(t) = t2 – 6t – a. Возможны следующие случаи.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">
Случай 2. Уравнение (4) имеет единственное положительное решение, если
D = 0, если a = – 9, тогда уравнение (4) примет вид (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.
Случай 3. Уравнение (4) имеет два корня, но один из них не удовлетворяет неравенству t > 0. Это возможно, если
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">
Таким образом, при a 0 уравнение (4) имеет единственный положительный корень . Тогда уравнение (3) имеет единственное решение
При a < – 9 уравнение (3) корней не имеет.
если a < – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
если a = – 9, то x = – 1;
если a 0, то
Сравним способы решения уравнений (1) и (3). Отметим, что при решении уравнение (1) было сведено к квадратному уравнению, дискриминант которого - полный квадрат; тем самым корни уравнения (2) сразу были вычислены по формуле корней квадратного уравнения, а далее относительно этих корней были сделаны выводы. Уравнение (3) было сведено к квадратному уравнению (4), дискриминант которого не является полным квадратом, поэтому при решении уравнения (3) целесообразно использовать теоремы о расположении корней квадратного трехчлена и графическую модель. Заметим, что уравнение (4) можно решить, используя теорему Виета.
Решим более сложные уравнения.
Задача 3. Решите уравнение
Решение. ОДЗ: x1, x2.
Введем замену. Пусть 2x = t, t > 0, тогда в результате преобразований уравнение примет вид t2 + 2t – 13 – a = 0. (*)Найдем значения a, при которых хотя бы один корень уравнения (*) удовлетворяет условию t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">
Ответ: если a > – 13, a 11, a 5, то если a – 13,
a = 11, a = 5, то корней нет.
Список используемой литературы.
1. Гузеев основания образовательной технологии.
2. Гузеев технология: от приема до философии.
М. «Директор школы»№4, 1996 г.
3. Гузеев и организационные формы обучения.
4. Гузеев и практика интегральной образовательной технологии.
М. «Народное образование», 2001 г.
5. Гузеев из форм урока – семинара.
Математика в школе №2, 1987 г. с.9 – 11.
6. Селевко образовательные технологии.
М. «Народное образование», 1998 г.
7. Епишева школьников учиться математике.
М. «Просвещение», 1990 г.
8. Иванова подготовить уроки – практикумы.
Математика в школе №6, 1990 г. с. 37 – 40.
9. Смирнова модель обучения математике.
Математика в школе №1, 1997 г. с. 32 – 36.
10. Тарасенко способы организации практической работы .
Математика в школе №1, 1993 г. с. 27 – 28.
11. Об одном из видов индивидуальной работы.
Математика в школе №2, 1994 г. с.63 – 64.
12. Хазанкин творческие способности школьников.
Математика в школе №2, 1989 г. с. 10.
13. Сканави. Издатель, 1997 г.
14. и др. Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы для
15. Кривоногов задания по математике.
М. «Первое сентября», 2002 г.
16. Черкасов. Справочник для старшеклассников и
поступающих в вузы. «А С Т - пресс школа», 2002 г.
17. Жевняк для поступающих в вузы.
Минск И РФ «Обозрение», 1996 г.
18. Письменный Д. Готовимся к экзамену по математике. М. Рольф, 1999 г.
19. и др. Учимся решать уравнения и неравенства.
М. «Интеллект – Центр», 2003 г.
20. и др. Учебно – тренировочные материалы для подготовки к Е Г Э.
М. «Интеллект – центр», 2003 г. и 2004 г.
21 и др. Варианты КИМ. Центр тестирования МО РФ, 2002 г., 2003г.
22. Гольдберг уравнения. «Квант» №3, 1971 г.
23. Волович М. Как успешно обучать математике.
Математика, 1997 г. №3.
24 Окунев за урок, дети! М. Просвещение, 1988 г.
25. Якиманская – ориентированное обучение в школе.
26. Лийметс работа на уроке. М. Знание, 1975 г.
На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.
Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.
Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n /a m = a n — m
Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.
Примеры показательных уравнений:
В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.
Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0
Теперь разберем как решаются показательные уравнения?
Возьмем простое уравнение:
2 х = 2 3
Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:
2 х = 2 3
х = 3
Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.
Теперь подведем итоги нашего решения.
Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые
ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем
степени и решаем полученное новое уравнение.
Теперь прорешаем несколько примеров:
Начнем с простого.
Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.
x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2
В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.
3 3х — 9 х+8 = 0
Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:
Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .
3 3х = (3 2) х+8
Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16
3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.
3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.
Смотрим следующий пример:
2 2х+4 — 10 4 х = 2 4
В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .
4 х = (2 2) х = 2 2х
И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:
2 2х+4 = 2 2х 2 4
Добавляем в уравнение:
2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24
Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:
2 2х (2 4 — 10) = 24
Посчитаем выражение в скобках:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Все уравнение делим на 6:
Представим 4=2 2:
2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.
Решим уравнение:
9 х – 12*3 х +27= 0
Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х
Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0
Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:
Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2
Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:
t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3
Возвращаемся к переменной x .
Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х
Стало быть,
3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2
Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.
На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.
Вступайте в группу
Примеры:
\(4^x=32\)
\(5^{2x-1}-5^{2x-3}=4,8\)
\((\sqrt{7})^{2x+2}-50\cdot(\sqrt{7})^{x}+7=0\)
Как решать показательные уравнения
При решении любое показательное уравнение мы стремимся привести к виду \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\), а затем сделать переход к равенству показателей, то есть:
\(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)
Например: \(2^{x+1}=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)
Важно! Из той же логики следуют два требования для такого перехода:
- число в
слева и справа должно быть одинаковым;
- степени слева и справа должны быть «чистыми»
, то есть не должно быть никаких , умножений, делений и т.д.
Например:
Для привидения уравнения к виду \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) применяются и .
Пример
. Решить показательное уравнение \(\sqrt{27}·3^{x-1}={(\frac{1}{3})}^{2x}\)
Решение:
\(\sqrt{27}·3^{x-1}={(\frac{1}{3})}^{2x}\) |
Мы знаем, что \(27 = 3^3\). С учетом этого преобразуем уравнение. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(\sqrt{3^3}·3^{x-1}={(\frac{1}{3})}^{2x}\) |
По свойству корня \(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\) получим, что \(\sqrt{3^3}=({3^3})^{\frac{1}{2}}\). Далее, используя свойство степени \((a^b)^c=a^{bc}\), получаем \({(3^3)}^{\frac{1}{2}}=3^{3 \cdot \frac{1}{2}}=3^{\frac{3}{2}}\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^{\frac{3}{2}}\cdot 3^{x-1}=(\frac{1}{3})^{2x}\) |
Также мы знаем, что \(a^b·a^c=a^{b+c}\). Применив это к левой части, получим: \(3^{\frac{3}{2}}·3^{x-1}=3^{\frac{3}{2}+ x-1}=3^{1,5 + x-1}=3^{x+0,5}\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^{x+0,5}=(\frac{1}{3})^{2x}\) |
Теперь вспомним, что: \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\). Эту формулу можно использовать и в обратную сторону: \(\frac{1}{a^n} =a^{-n}\). Тогда \(\frac{1}{3}=\frac{1}{3^1} =3^{-1}\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^{x+0,5}=(3^{-1})^{2x}\) |
Применив свойство \((a^b)^c=a^{bc}\) к правой части, получим: \((3^{-1})^{2x}=3^{(-1)·2x}=3^{-2x}\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^{x+0,5}=3^{-2x}\) |
И вот теперь у нас основания равны и нет никаких мешающих коэффициентов и т.д. Значит, можем делать переход. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример
. Решить показательное уравнение \(4^{x+0,5}-5·2^x+2=0\)
Ответ : \(-1; 1\). Остается вопрос - как понять, когда какой метод применять? Это приходит с опытом. А пока вы его не наработали, пользуйтесь общей рекомендацией для решения сложных задач – «не знаешь, что делать – делай, что можешь». То есть, ищите как вы можете преобразовать уравнение в принципе, и пробуйте это делать – вдруг чего и выйдет? Главное при этом делать только математически обоснованные преобразования. Показательные уравнения, не имеющие решенийРазберем еще две ситуации, которые часто ставят в тупик учеников: Давайте попробуем решить перебором. Если икс - положительное число, то с ростом икса вся степень \(2^x\) будет только расти: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=0\); \(2^0=1\) Тоже мимо. Остаются отрицательные иксы. Вспомнив свойство \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\), проверяем: \(x=-1\); \(2^{-1}=\frac{1}{2^1} =\frac{1}{2}\) Несмотря на то, что число с каждым шагом становится меньше, до нуля оно не дойдет никогда. Так что и отрицательная степень нас не спасла. Приходим к логичному выводу: Положительное число в любой степени останется положительным числом.Таким образом, оба уравнения выше не имеют решений. Показательные уравнения с разными основаниямиВ практике порой встречаются показательные уравнения с разными основаниями, не сводимыми к друг к другу, и при этом с одинаковыми показателями степени. Выглядят они так: \(a^{f(x)}=b^{f(x)}\), где \(a\) и \(b\) – положительные числа. Например: \(7^{x}=11^{x}\) Такие уравнения легко можно решить делением на любую из частей уравнения (обычно делят на правую часть, то есть на \(b^{f(x)}\). Так делить можно, потому что положительное число в любой степени положительно (то есть, мы не делим на ноль). Получаем: \(\frac{a^{f(x)}}{b^{f(x)}}\) \(=1\) Пример
. Решить показательное уравнение \(5^{x+7}=3^{x+7}\)
Ответ : \(-7\). Иногда «одинаковость» показателей степени не очевидна, но умелое использование свойств степени решает этот вопрос. Пример
. Решить показательное уравнение \(7^{ 2x-4}=(\frac{1}{3})^{-x+2}\)
Ответ : \(2\). |
Так называются уравнения вида, где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.
Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида. Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения будут корнями уравнения f(x) = g(x) Обратное же утверждение неверно, при а(х) < 0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а(х) f(x) и
а(х) g(x) теряют смысл. То - есть при переходе от к f(x) = g(x) (при и могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно.
Итак, для полного решения уравнения рассматриваем случаи:
а(х) = О f(x) и g{x) будут положительными числами, то это решение. В противном случае, нет
а(х) = 1 . Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.
а(х) = -1 . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g(x) являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные) , то это решение. В противном случае, нет
При и решаем уравнение f(x)= g(x) и подстановкой полученных результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.
Примеры решения показательно-степенных уравнений.
Пример №1.
1) x - 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0, и 3 2 > 0, то x 1 = 3 - это решение.
2) x - 3 = 1, x 2 = 4.
3) x - 3 = -1, x = 2. Оба показателя четные. Это решение x 3 = 1.
4) x - 3 ? 0 и x ? ± 1. x = x 2 , x = 0 или x = 1. При x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 -верно это решение x 4 = 0. При x = 1, (-2) 1 = (-2) 1 - верно это решение x 5 = 1.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.
Пример №2.
По определению арифметического квадратного корня: x - 1 ? 0, x ? 1.
1) x - 1 = 0 или x = 1, = 0, 0 0 это не решение.
2) x - 1 = 1 x 1 = 2.
3) x - 1 = -1 x 2 = 0 не подходит в ОДЗ.
Д = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - корней нет.
- Спагетти с чесноком и острым перцем
- К чему снится Снежная Лавина?
- Толкование сна мозоли в сонниках
- Гадание Таро: беременность - онлайн
- Коктейль «Куба Либре» — лучшие рецепты приготовления
- Вина из слив в домашних условиях
- Толкования Густава Миллера
- По эротическому соннику Даниловой
- Простое варенье из абрикосов без косточек на зиму — густое и очень вкусное
- Увидеть во сне рыжие волосы у себя
- Рецепты приготовления кабачков со вкусом груздей на зиму
- Рецепт: Песочное печенье с джемом - домашнее со сладкой начинкой
- Заправка для борща на зиму, очень вкусные рецепты из свеклы Заготовка для зеленого борща на зиму рецепт
- Ром с соком – беспроигрышный вариант Ром с апельсиновым соком название
- Как приготовить рыбу кижуч
- Слоеный салат «Печенкин Салат печенкин с куриной
- Пошаговый рецепт с фото и видео Рецепт пряников медовых для рисования
- Мороженое шоколадное: рецепт и фото
- Постный чечевичный суп с грибами
- Диетические блюда из творога с указанием калорий