Сокращается ли дробь. Сокращение дробей: правила и примеры

Итак, мы уже знаем, что числитель и знаменатель дроби можно умножать и делить на одно и тоже число, дробь от этого не изменится. Рассмотрим три подхода:

Подход первый.

Для сокращения делят числитель и знаменатель на общий делитель. Рассмотрим примеры:

Сократим:

В приведенных примерах мы сразу видим какие взять делители для сокращения. Процесс несложен – мы перебираем 2,3.4,5 и так далее. В большинстве примеров школьного курса этого вполне достаточно. А вот если будет дробь:

Тут процесс с подбором делителей может затянуться надолго;). Конечно, такие примеры лежат вне школьного курса, но справляться с ними нужно уметь. Чуть ниже рассмотрим как это делается. А пока вернёмся к процессу сокращения.

Как рассмотрено выше, для того чтобы сократить дробь, мы осуществляли деление на определённый нами общий делитель(ли). Всё правильно! Стоит лишь добавить признаки делимости чисел:

— если число чётное то оно делится на 2.

— если число из последних двух цифр делится на 4, то и само число делится на 4.

— если сумма цифр из которых состоит число делится на 3, то и само число делится на 3. Например 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Двенадцать делится на 3, значит и 123031 делится на 3.

— если в конце числа стоит 5 или 0, то число делится на 5.

— если сумма цифр из которых состоит число делится на 9, то и само число делится на 9. Например 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Восемнадцать делится на 9, значит и 623032 делится на 9.

Второй подход.

Если кратко суть, то на самом деле всё действо сводится к разложению числителя и знаменателя на множители и далее к сокращению равных множителей в числителе и знаменателе (данный подход – это следствие из первого подхода):

Визуально, чтобы не запутаться и не ошибиться равные множители просто перечёркивают. Вопрос – а как разложить число на множители? Нужно определить перебором все делители. Это тема отдельная, она несложная, посмотрите информацию в учебнике или интернете. Никаких великих проблем с разложением на множители чисел, которые присутствуют в дробях школьного курса, вы не встретите.

Формально принцип сокращения можно записать так:

Подход третий.

Тут самое интересное для продвинутых и тех, кто хочет им стать. Сократим дробь 143/273. Попробуйте сами! Ну и как, быстро получилось? А теперь смотрите!

Переворачиваем её (числитель и знаменатель меняем местами). Делим уголком полученную дробь переводим в смешанное число, то есть выделяем целую часть:

Уже проще. Мы видим, что числитель и знаменатель можно сократить на 13:

А теперь не забываем снова перевернуть дробь обратно, давайте запишем всю цепочку:

Проверено – времени уходит меньше, чем на перебор и проверку делителей. Вернёмся к нашим двум примерам:

Первый. Делим уголком (не на калькуляторе), получим:

Эта дробь попроще конечно, но с сокращением опять проблема. Теперь отдельно разбираем дробь 1273/1463, переворачиваем её:

Тут уже проще. Можем рассмотреть такой делитель как 19. Остальные не подходят, это видно: 190:19= 10, 1273:19 = 67. Ура! Запишем:

Следующий пример. Сократим 88179/2717.

Делим, получим:

Отдельно разбираем дробь 1235/2717, переворачиваем её:

Можем рассмотреть такой делитель как 13 (до 13 не подходят):

Числитель 247:13=19 Знаменатель 1235:13=95

*В процессе увидели ещё один делитель равный 19. Получается, что:

Теперь записываем исходное число:

И не важно, что будет больше в дроби – числитель или знаменатель, если знаменатель, то переворачиваем и действуем как описано. Таким образом мы можем сократить любую дробь, третий подход можно назвать универсальным.

Конечно, два примера рассмотренные выше это непростые примеры. Давайте попробуем эту технологию на уже рассмотренных нами «несложных» дробях:

Две четвёртых.

Семьдесят две шестидесятых. Числитель больше знаменателя, переворачивать не нужно:

Разумеется, третий подход применили к таким простым примерам просто как альтернативу. Способ, как уже сказано, универсальный, но не для всех дробей удобный и корректный, особенно это относится к простым.

Многообразие дробей велико. Важно, чтобы вы усвоили именно принципы. Строгого правила по работе с дробями просто нет. Посмотрели, прикинули каким образом удобнее действовать и вперёд. С практикой придёт навык и будете щёлкать их как семечки.

Вывод:

Если видите общий(ие) делитель(и) для числителя и знаменателя, то используйте их для сокращения.

Если умеете быстро раскладывать на множители число, то разложите числитель и знаменатель, далее сокращайте.

Если никак не можете определить общий делитель, то воспользуйтесь третьим подходом.

*Для сокращения дробей важно усвоить принципы сокращения, понимать основное свойство дроби, знать подходы к решению, быть крайне внимательным при вычислениях.

И запомните! Дробь принято сокращать до упора, то есть сокращать её пока есть общий делитель.

C уважением, Александр Крутицких.

Калькулятора онлайн выполняет сокращение алгебраических дробей в соответствии с правилом сокращения дробей: замена исходной дроби равной дробью, но с меньшими числителем и знаменателем, т.е. одновременное деление числителя и знаменателя дроби на их общий наибольший общий делитель (НОД). Также калькулятор выводит подробное решение, которое поможет понять последовательность выполнения сокращения.

Дано:

Решение:

Выполнение сокращения дробей

проверка возможности выполнения сокращения алгебраической дроби

1) Определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя дроби

определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя алгебраической дроби

2) Сокращение числителя и знаменателя дроби

сокращение числителя и знаменателя алгебраической дроби

3) Выделение целой части дроби

выделение целой части алгебраической дроби

4) Перевод алгебраической дроби в десятичную дробь

перевод алгебраической дроби в десятичную дробь

Помощь на развитие проекта сайт

Уважаемый Посетитель сайта.
Если Вам не удалось найти, то что Вы искали - обязательно напишите об этом в комментариях, чего не хватает сейчас сайту. Это поможет нам понять в каком направлении необходимо дальше двигаться, а другие посетители смогут в скором времени получить необходимый материал.
Если же сайт оказался Ваме полезен - подари проекту сайт всего 2 ₽ и мы будем знать, что движемся в правильном направлении.

Спасибо, что не прошели мимо!

I. Порядок действий при сокращении алгебраической дроби калькулятором онлайн:

1. Чтобы выполнить сокращение алгебраической дроби введите в соответствующие поля значения числителя, знаменателя дроби. Если дробь смешанная, то также заполните поле, соответствующее целой части дроби. Если дробь простая, то оставьте поле целой части пустым.
2. Чтобы задать отрицательную дробь, поставьте знак минус в целой части дроби.
3. В зависимости от задаваемой алгебраической дроби автоматически выполняется следующая последовательность действий:

• определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя дроби ;
• сокращение числителя и знаменателя дроби на НОД ;
• выделение целой части дроби , если числитель итоговой дроби больше знаменателя.
• перевод итоговой алгебраической дроби в десятичную дробь с округлением до сотых.

II. Для справки:

Дробь - число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Обыкновенная дробь (простая дробь) записывается в виде двух чисел (числитель дроби и знаменатель дроби), разделенных горизонтальной чертой (дробной чертой), обозначающей знак деления. числитель дроби - число, стоящее над дробной чертой. Числитель показывает, сколько долей взяли у целого. знаменатель дроби - число, стоящее под дробной чертой. Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделено целое. простая дробь - дробь, не имеющая целой части. Простая дробь может быть правильной или неправильной. правильная дробь - дробь, у которой числитель меньше знаменателя, поэтому правильная дробь всегда меньше единицы. Пример правильных дроби: 8/7, 11/19, 16/17. неправильная дробь - дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю, поэтому неправильная дробь всегда больше единицы или равна ей. Пример неправильных дроби: 7/6, 8/7, 13/13. смешанная дробь - число, в состав которого входит целое число и правильная дробь, и обозначает сумму этого целого числа и правильной дроби. Любая смешанная дробь может быть преобразована в неправильную простую дробь. Пример смешанных дробей: 1¼, 2½, 4¾.

III. Примечание:

1. Блок исходных данных выделен желтым цветом , блок промежуточных вычислений выделен голубым цветом , блок решения выделен зеленым цветом .
2. Для сложения, вычитания, умножения и деления обыкновенных или смешанных дробей воспользуйтесь онлайн калькулятором дробей с подробным решением.

На этом уроке мы изучим основное свойство дроби, узнаем, какие дроби являются равными друг другу. Научимся сокращать дроби, определять, является ли дробь сократимой или нет, попрактикуемся в сокращении дробей и узнаем, когда стоит использовать сокращение, а когда нет.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Основное свойство дроби

Представьте себе такую ситуацию.

За столом 3 человека и 5 яблок. Делятся 5 яблок на троих. Каждому достается по \(\mathbf{\frac{5}{3}}\) яблока.

А за соседним столом еще 3 человека и тоже 5 яблок. Каждому опять по \(\mathbf{\frac{5}{3}}\)

При этом всего 10 яблок и 6 человек. Каждому по \(\mathbf{\frac{10}{6}}\)

Но это одно и то же.

\(\mathbf{\frac{5}{3} = \frac{10}{6}}\)

Эти дроби эквивалентны.

Можно увеличить в два раза количество людей и в два раза количество яблок. Результат будет тем же самым.

В математике это формулируется так:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число (не равное 0), то новая дробь будет равна исходной .

Это свойство иногда называют «основным свойством дроби ».

$$\mathbf{\frac{a}{b} = \frac{a\cdot c}{b\cdot c} = \frac{a:d}{b:d}}$$

Например, Путь от города до деревни- 14 км.

Мы идем по дороге и определяем пройденный путь по километровым столбикам. Пройдя шесть столбиков, шесть километров, мы понимаем, что прошли \(\mathbf{\frac{6}{14}}\) пути.

Но если мы не видим столбиков (может, их не установили), можно путь считать по электрическим столбам вдоль дороги. Их 40 штук на каждый километр. То есть всего 560 на всем пути. Шесть километров- \(\mathbf{6\cdot40 = 240}\) столбов. То есть мы прошли 240 из 560 столбов- \(\mathbf{\frac{240}{560}}\)

\(\mathbf{\frac{6}{14} = \frac{240}{560}}\)

Пример 1

Отметьте точку с координатами (5; 7 ) на координатной плоскости XО Y . Она будет соответствовать дроби \(\mathbf{\frac{5}{7}}\)

Соедини начало координат с получившейся точкой. Построй другую точку, которая имеет координаты в два раза больших предыдущих. Какую дробь ты получил? Будут ли они равны?

Решение

Дробь на координатной плоскости можно отмечать точкой. Чтобы изобразить дробь \(\mathbf{\frac{5}{7}}\), отметим точку с координатой 5 по оси Y и 7 по оси X . Проведем прямую из начала координат через нашу точку.

На этой же прямой будет лежать и точка, соответствующая дроби \(\mathbf{\frac{10}{14}}\)

Они являются эквивалентными: \(\mathbf{\frac{5}{7} = \frac{10}{14}}\)

Разберемся в том, что такое сокращение дробей, зачем и как сокращать дроби, приведем правило сокращения дробей и примеры его использования.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что такое "сокращение дробей"

Сократить дробь - значит разделить ее числитель и знаменатель на общий делитель, положительный и отличный от единицы.

В результате такого действия получится дробь с новым числителем и знаменателем, равная исходной дроби.

К примеру, возьмем обыкновенную дробь 6 24 и сократим ее. Разделим числитель и знаменатель на 2 , в результате чего получим 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 . В этом примере мы сократили исходную дробь на 2 .

Приведение дробей к несократимому виду

В предыдущем примере мы сократили дробь 6 24 на 2 , в результате чего получили дробь 3 12 . Нетрудно заметить, что эту дробь можно сократить еще. Как правило, целью сокращения дробей является получение в итоге несократимой дроби. Как привести дробь к несократимому виду?

Это можно сделать, если сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Тогда, по свойству наибольшего общего делителя, в числителе и в знаменателе будут взаимно простые числа, и дробь окажется несократимой.

a b = a ÷ Н О Д (a , b) b ÷ Н О Д (a , b)

Приведение дроби к несократимому виду

Чтобы привести дробь к несократимому виду нужно ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.

Вернемся к дроби 6 24 из первого примера и приведем ее к несократимому виду. Наибольший общий делитель чисел 6 и 24 равен 6 . Сократим дробь:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Сокращение дробей удобно применять, чтобы не работать с большими цифрами. Вообще, в математике существует негласное правило: если можно упростить какое-либо выражение, то нужно это делать. Под сокращением дроби чаще всего подразумевают ее приведение к несократимому виду, а не просто сокращение на общий делитель числителя и знаменателя.

Правило сокращения дробей

Чтобы сокращать дроби достаточно запомнить правило, которое состоит из двух шагов.

Правило сокращения дробей

Чтобы сократить дробь нужно:

1. Найти НОД числителя и знаменателя.
2. Разделить числитель и знаменатель на их НОД.

Рассмотрим практические примеры.

Пример 1. Сократим дробь.

Дана дробь 182 195 . Сократим ее.

Найдем НОД числителя и знаменателя. Для этого в данном случае удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида.

195 = 182 · 1 + 13 182 = 13 · 14 Н О Д (182 , 195) = 13

Разделим числитель и знаменатель на 13 . Получим:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Готово. Мы получили несократимую дробь, которая равна исходной дроби.

Как еще можно сокращать дроби? В некоторых случаях удобно разложить числитель и знаменатель на простые множители, а потом из верхней и нижней частей дроби убрать все общие множители.

Пример 2. Сократим дробь

Дана дробь 360 2940 . Сократим ее.

Для этого представим исходную дробь в виде:

360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7

Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе, в результате чего получим:

360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 = 2 · 3 7 · 7 = 6 49

Наконец, рассмотрим еще один способ сокращения дробей. Это так называемое последовательное сокращение. С использованием этого способа сокращение производится в несколько этапов, на каждом из которых дробь сокращается на какой-то очевидный общий делитель.

Пример 3. Сократим дробь

Сократим дробь 2000 4400 .

Сразу видно, что числитель и знаменатель имеют общий множитель 100 . Сокращаем дробь на 100 и получаем:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Получившийся результат снова сокращаем на 2 и получаем уже несократимую дробь:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Без знания того, как сократить дробь, и наличия устойчивого навыка в решении подобных примеров очень непросто изучать в школе алгебру. Чем дальше, тем больше на базовые знания о сокращении обыкновенных дробей накладывается новой информации. Сначала появляются степени, потом множители, которые позже становятся многочленами.

Как тут не запутаться? Основательно закреплять умения в предыдущих темах и постепенно готовиться к знаниям о том, как сократить дробь, усложняющуюся год от года.

Базовые знания

Без них не удастся справиться с заданиями любого уровня. Чтобы понять, нужно уяснить два простых момента. Первый: сокращать можно только множители. Этот нюанс оказывается очень важным при появлении многочленов в числителе или знаменателе. Тогда нужно четко различать, где находится множитель, а где стоит слагаемое.

Второй момент говорит о том, что любое число можно представить в виде множителей. Причем результатом сокращения является такая дробь, числитель и знаменатель которых уже невозможно сократить.

Правила сокращения обыкновенных дробей

Для начала стоит проверить, делится ли числитель на знаменатель или наоборот. Тогда именно на это число нужно провести сокращение. Это самый простой вариант.

Вторым является анализ внешнего вида чисел. Если оба заканчиваются на один или несколько нолей, то их можно сократить на 10, 100 или тысячу. Здесь же можно заметить, являются ли числа четными. Если да, то смело можно сокращать на два.

Третьим правилом того, как сократить дробь, становится разложение на простые множители числителя и знаменателя. В это время нужно активно использовать все знания о признаках делимости чисел. После такого разложения остается только найти все повторяющиеся, перемножить их и произвести сокращение на получившееся число.

Как быть, если в дроби стоит алгебраическое выражение?

Здесь появляются первые трудности. Потому что именно здесь появляются слагаемые, которые могут быть идентичны множителям. Их очень хочется сократить, а нельзя. До того как сократить алгебраическую дробь, ее нужно преобразовать так, чтобы она имела множители.

Для этого потребуется выполнить несколько действий. Возможно, потребуется пройти их все, а может, уже первое даст подходящий вариант.

Проверить, не отличаются ли числитель и знаменатель или какое-либо выражение в них на знак. В этом случае необходимо просто вынести за скобки минус единицу. Так получаются одинаковые множители, которые можно сократить.

Посмотреть, можно ли вынести из многочлена за скобки общий множитель. Возможно, так получится скобка, которую также можно сократить, или это будет вынесенный одночлен.

Попробовать провести группировку одночленов с тем, чтобы потом в них вынести общий множитель. После этого может оказаться, что появятся множители, которые можно сократить, или снова повторить вынесение за скобки общих элементов.

Попытаться рассмотреть в записи формулы сокращенного умножения. С их помощью легко удастся преобразовать многочлен в множители.

Последовательность действий с дробями со степенями

Для того чтобы без проблем разобраться в вопросе о том, как сократить дробь со степенями, необходимо твердо запомнить основные действия с ними. Первое из них связано с умножением степеней. В этом случае, если основания одинаковые, показатели необходимо сложить.

Второе — деление. Опять же у тех, которые имеют одинаковые основания, показатели потребуется вычесть. Причем вычитать нужно из того числа, которое стоит в делимом, а не наоборот.

Третье — возведение в степень степени. В этой ситуации показатели перемножаются.

Для успешного сокращения потребуется также умение приводить степени к одинаковым основаниям. То есть видеть, что четыре — это два в квадрате. Или 27 — куб трех. Потому что сократить 9 в квадрате и 3 в кубе сложно. Но если преобразовать первое выражение как (3 2) 2 , то сокращение пройдет успешно.