Функциональные ряды. Степенные ряды.
Область сходимости ряда

Смех без причины – признак Даламбера

Вот и пробил час функциональных рядов. Для успешного освоения темы, и, в частности, этого урока, нужно хорошо разбираться в обычных числовых рядах. Следует хорошо понимать, что такое ряд, уметь применять признаки сравнения для исследования ряда на сходимость. Таким образом, если Вы только-только приступили к изучению темы или являетесь чайником в высшей математике, необходимо последовательно проработать три урока: Ряды для чайников , Признак Даламбера. Признаки Коши и Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница . Обязательно все три! Если есть элементарные знания и навыки решения задач с числовыми рядами, то справиться с функциональными рядами будет довольно просто, поскольку нового материала не очень и много.

На данном уроке мы рассмотрим понятие функционального ряда (что это вообще такое), познакомимся со степенными рядами, которые встречаются в 90% практических заданий, и научимся решать распространенную типовую задачу на нахождение радиуса сходимости, интервала сходимости и области сходимости степенного ряда. Далее рекомендую рассмотреть материал о разложении функций в степенные ряды , и «скорая помощь» начинающему будет оказана. Немного отдышавшись, переходим на следующий уровень:

Также в разделе функциональных рядов есть их многочисленные приложения к приближённым вычислениям , и некоторым особняком идут Ряды Фурье , которым в учебной литературе, как правило, выделяется отдельная глава. У меня всего лишь одна статья, но зато длиннющая и много-много дополнительных примеров!

Итак, ориентиры расставлены, поехали:

Понятие функционального ряда и степенного ряда

Если в пределе получается бесконечность , то алгоритм решения также заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Ряд сходится при » (или при либо »). Смотрите случай №3 предыдущего параграфа.

Если в пределе получается не ноль и не бесконечность , то у нас самый распространенный на практике случай №1 – ряд сходится на некотором интервале.

В данном случае предел равен . Как найти интервал сходимости ряда? Составляем неравенство:

В ЛЮБОМ задании данного типа в левой части неравенства должен находиться результат вычисления предела , а в правой части неравенства – строго единица . Не буду объяснять, почему именно такое неравенство и почему справа единица. Уроки носят практическую направленность, и уже очень хорошо, что от моих рассказов не повесился профессорско-преподавательский состав стали понятнее некоторые теоремы.

Техника работы с модулем и решения двойных неравенств подробно рассматривалась на первом курсе в статье Область определения функции , но для удобства я постараюсь максимально подробно закомментировать все действия. Раскрываем неравенство с модулем по школьному правилу . В данном случае:

Половина пути позади.

На втором этапе необходимо исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала.

Сначала берём левый конец интервала и подставляем его в наш степенной ряд :

При

Получен числовой ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость (уже знакомая из предыдущих уроков задача).

1) Ряд является знакочередующимся.
2) – члены ряда убывают по модулю. При этом каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: , значит, убывание монотонно.
Вывод: ряд сходится.

С помощью ряда, составленного из модулей, выясним, как именно:
– сходится («эталонный» ряд из семейства обобщенного гармонического ряда).

Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно .

при – сходится.

! Напоминаю , что любой сходящийся положительный ряд тоже является абсолютно сходящимся.

Таким образом, степенной ряд сходится, причём абсолютно, на обоих концах найденного интервала.

Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда:

Имеет право на жизнь и другое оформление ответа: Ряд сходится, если

Иногда в условии задачи требуют указать радиус сходимости. Очевидно, что в рассмотренном примере .

Пример 2

Найти область сходимости степенного ряда

Решение: интервал сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера (но не ПО признаку! – для функциональных рядов такого признака не существует) :

Ряд сходится при

Слева нам нужно оставить только , поэтому умножаем обе части неравенства на 3:

– Ряд является знакочередующимся.
– – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: , значит, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Исследуем его на характер сходимости:

Сравним данный ряд с расходящимся рядом .
Используем предельный признак сравнения :

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд расходится вместе с рядом .

Таким образом, ряд сходится условно .

2) При – расходится (по доказанному).

Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: . При ряд сходится условно.

В рассмотренном примере областью сходимости степенного ряда является полуинтервал, причем во всех точках интервала степенной ряд сходится абсолютно , а в точке , как выяснилось – условно .

Пример 3

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала

Это пример для самостоятельного решения.

Рассмотрим пару примеров, которые встречаются редко, но встречаются.

Пример 4

Найти область сходимости ряда:

Решение: с помощью признака Даламбера найдем интервал сходимости данного ряда:

(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.

(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.

(3) Кубы и по правилу действий со степенями подводим под единую степень. В числителе хитро раскладываем степень , т.е. раскладываем таким образом, чтобы на следующем шаге сократить дробь на . Факториалы расписываем подробно.

(4) Под кубом почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что . В дроби сокращаем всё, что можно сократить. Множитель выносим за знак предела, его можно вынести, поскольку в нём нет ничего, зависящего от «динамической» переменной «эн». Обратите внимание, что знак модуля не нарисован – по той причине, что принимает неотрицательные значения при любом «икс».

В пределе получен ноль, а значит, можно давать окончательный ответ:

Ответ: Ряд сходится при

А сначала-то казалось, что этот ряд со «страшной начинкой» будет трудно решить. Ноль или бесконечность в пределе – почти подарок, ведь решение заметно сокращается!

Пример 5

Найти область сходимости ряда

Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны;-) Полное решение ответ в конце урока.

Рассмотрим еще несколько примеров, содержащих элемент новизны в плане использования технических приемов.

Пример 6

Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала

Решение: В общий член степенного ряда входит множитель , обеспечивающий знакочередование. Алгоритм решения полностью сохраняется, но при составлении предела мы игнорируем (не пишем) этот множитель, поскольку модуль уничтожает все «минусы».

Интервал сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера:

Составляем стандартное неравенство:
Ряд сходится при
Слева нам нужно оставить только модуль , поэтому умножаем обе части неравенства на 5:

Теперь раскрываем модуль уже знакомым способом:

В середине двойного неравенства нужно оставить только «икс», в этих целях из каждой части неравенства вычитаем 2:

– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:

1) Подставляем значение в наш степенной ряд :

Будьте предельно внимательны, множитель не обеспечивает знакочередование, при любом натуральном «эн» . Полученный минус выносим за пределы ряда и забываем про него, поскольку он (как и любая константа-множитель) никак не влияет на сходимость или расходимость числового ряда.

Еще раз заметьте , что в ходе подстановки значения в общий член степенного ряда у нас сократился множитель . Если бы этого не произошло, то это бы значило, что мы либо неверно вычислили предел, либо неправильно раскрыли модуль.

Итак, требуется исследовать на сходимость числовой ряд . Здесь проще всего использовать предельный признак сравнения и сравнить данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Но, если честно, предельный признак сравнения до ужаса мне надоел, поэтому внесу некоторое разнообразие в решение.

Итак, ряд сходится при

Умножаем обе части неравенства на 9:

Извлекаем из обеих частей корень, при этом помним старый школьный прикол :


Раскрываем модуль:

и прибавляем ко всем частям единицу:

– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала:

1) Если , то получается следующий числовой ряд:

Множитель бесследно пропал, поскольку при любом натуральном значении «эн» .

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Здесь x – действительная переменная. Числа a n (n = 0, 1, 2, … ) называются коэффициентами ряда . В дальнейшем ограничимся случаем, когда все a n и величина x 0 – действительные числа. Степенной ряд (9.5) называют также рядом по степеням разности x  x 0 .

Если x 0 = 0 , то получим степенной ряд вида

, (9.6)

который называют рядом по степеням x .

Степенной ряд (9.5) приводится к виду (9.6) с помощью простого преобразования x  x 0 = t (перенос начала на числовой оси). В силу этого теория степенных

рядов (9.5) и (9.6) общая. Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением основных свойств рядов вида (9.6).

При рассмотрении степенных рядов основным вопросом является определение их области сходимости , т. е. множества тех значений x , при которых ряд сходится.

Эта задача решается на базе теоремы Абеля .

Если степенной ряд (9.6) сходится при некотором значении x = x 1  0 , то он абсолютно сходится при всех значениях x , удовлетворяющих неравенству x < x 1 .

Если же ряд расходится при некотором значении x = x 2 , то он расходится и при всех x , удовлетворяющих неравенству x  > x 2 .

Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда (9.6).

Действительно, если x 1 – точка сходимости, то весь интервал ( x 1 , x 1 ) заполнен точками абсолютной сходимости.

Если x 2 – точка расходимости, то интервалы (  ,  x 2 ) и (x 2 , +  )состоят из точек расходимости.

Из этого можно заключить, что существует такое число R , что при x  < R степенной ряд абсолютно сходится, а при x  > R – расходится.

Интервал ( R , R ) называется интервалом сходимости степенного ряда (9.6). Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Отметим, что интервал сходимости некоторых рядов представляет собой всю числовую прямую (в этом случаеR =  ), у других вырождается в одну точку (случай R = 0 ). При x =  R , т. е. на концах интервала сходимости, ряд может сходиться абсолютно, условно или расходиться. Для выяснения поведения ряда в концевых точках необходимо в выражение для ряда подставить вместо x значения  R и получившиеся два числовых ряда исследовать на сходимость. Этот вопрос решается для каждого конкретного ряда индивидуально.

В применении к степенным рядам вида (9.5) полученные результаты видоизменяются только в том, что центр сходимости находится в точке x = x 0 , а не в точке x = 0 , т. е. интервал сходимости степенного ряда (9.5) симметричен относительно точки x = x 0 и представляет собой интервал x 0  R < x < x 0 + R .

Заметим, что для нахождения интервала сходимости степенного ряда (9.6) можно исследовать ряд

, (9.7)

составленный из модулей членов данного ряда, так как интервалы сходимости этих рядов совпадают.

Для определения сходимости ряда (9.7), члены которого положительны, обычно применяют признаки сходимости Даламбера или Коши.

Допустим, что существует предел
.

Тогда по признаку Даламбера ряд (9.7) сходится при
, т. е. если
, и расходится при
, т. е. если
. Таким образом, данный ряд сходится внутри интервала
и расходится вне его, т. е. радиус сходимости равен
.

Замечания.

1) Если A = 0 , то исходный ряд абсолютно сходится при всех числовых значениях x , так как при этом имеем x  A = 0 < 1 для любого x . В этом случае радиус сходимостиR =  .

2) Если A =  , то исходный ряд сходится в единственной точке x = 0 . Ранее было принято, что в этом случае R = 0 .

3) Аналогично, для определения интервала сходимости можно пользоваться признаком Коши, если существует
. В этом случае
.

4) Интервал сходимости можно находить, используя непосредственно признаки Даламбера или Коши.

Пример 9.11. Определить область сходимости ряда
.

Решение. Здесь
. Поэтому,

.

Итак, интервал
является интервалом сходимости заданного ряда.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. При
ряд примет вид
. Это гармонический ряд, он расходится. При
ряд примет вид
. Этот знакочередующийся ряд сходится условно, так как легко проверить, что выполняются условия признака Лейбница, а ряд из модулей расходится.

Итак, при
ряд сходится абсолютно, при
ряд сходится условно, во всех других точках ряд расходится.

Пример 9.12. Найти область сходимости ряда
.

Решение. Воспользуемся признаком Коши. Имеем

Отсюда, ряд абсолютно сходится только при x =  1 , а во всех других точках числовой оси ряд расходится. Радиус сходимости R = 0 .

Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда:

а) ; б);

в) ; г)
;

д)
.

а) Найдем радиус сходимости R . Так как
,
, то

.

x
, то есть интервал сходимости ряда
.

При
получаем числовой ряд . Этот ряд сходится, так как является обобщенным гармоническим рядомпри
.

При
получаем числовой ряд
. Этот ряд абсолютно сходящийся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, сходящийся.

.

б) Найдем радиус сходимости R . Так как
, то
.

Итак, интервал сходимости ряда
.

Исследуем на сходимость данный ряд на концах интервала сходимости.

При
имеем числовой ряд

.

При
имеем числовой ряд
. Этот ряд расходящийся, так как
не существует.

Итак, область сходимости данного ряда
.

в) Найдем радиус сходимости R . Так как
,
то
.

Итак, интервал сходимости
. Область сходимости данного ряда совпадает с интервалом сходимости, то есть ряд сходится при любом значении переменнойx .

г) Найдем радиус сходимости R . Так как
,
то
.

Так как
, то ряд сходится только в точке
. Значит, область сходимости данного ряда представляет собой одну точку
.

д) Найдем радиус сходимости R .

Так как
,
, то

.

Итак, ряд сходится абсолютно для всех x , удовлетворяющих неравенству
, то есть
.

Отсюда
− интервал сходимости,
− радиус сходимости.

Исследуем данный ряд на сходимость на концах интервала сходимости.

При
получаем числовой ряд

,

который расходится (гармонический ряд).

При
получаем числовой ряд
, который сходится условно (ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный их абсолютных величин его членов, расходится, так как является гармоническим).

Итак, область сходимости ряда
.

2.3. Ряды Тейлора и Маклорена.

Разложение функций в степенной ряд.

Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям

Примеры решения задач

Пример 1. Разложить в степенной ряд функции:

а)
; б)
;

в)
; г)
.

а) Заменив в формуле
x на
, получим искомое разложение:

Где

б) Заменяя в равенстве

Где
x на
, получим искомое разложение:

в) Данную функцию можно записать так:
. Чтобы найти искомый ряд, достаточно в разложение

Где
подставить
. Тогда получим:

г) Данную функцию можно переписать так: .

Функцию
можно разложить в степенной ряд, положив в биномиальном ряде
, получим .

Где
.

Чтобы получить искомое разложение, достаточно перемножить полученные ряды (ввиду абсолютной сходимости этих рядов).

Следовательно,

, где
.

Пример 2. Найти приближенные значения данных функций:

а)
с точностью до 0,0001;

б)
с точностью до 0,00001.

а) Так как
, то в разложение функции , где
подставим
:

или

Так как
, то требуемая точность будет обеспечена, если ограничиться только первыми двумя членами полученного разложения.

.

Используем биномиальный ряд

Где
.

Полагая
и
, получим следующее разложение:

Если в последнем знакочередующемся ряде учитывать только первые два члена, а остальные отбросить, то погрешность при вычислении
не превысит по абсолютной величине 0,000006. Тогда погрешность при вычислении
не превысит числа . Следовательно,

Пример 3. Вычислить с точностью до 0,001:

а)
; б)
.

а)
.

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд. Для этого подставим в биномиальный ряд
и заменим x на :

.

Так как отрезок интегрирования
принадлежит области сходимости полученного ряда
, то будем интегрировать почленно в указанных пределах:

.

В полученном знакочередующемся ряде четвертый член по абсолютной величине меньше 0,001. Следовательно, требуемая точность будет обеспечена, если учитывать только первые три члена ряда.

.

Так как первый из отброшенных членов имеет знак минус, то полученное приближенное значение будет с избытком. Поэтому ответ с точностью до 0,001 равен 0,487.

б) Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменим в разложении функции

Где

x на
, получим:

Тогда
.

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница. Четвертый член ряда по абсолютной величине меньше 0,001. Чтобы обеспечить требуемую точность, достаточно найти сумму первых трех членов.

Следовательно,
.

Среди функциональных рядов наиболее важное место занимают степенные ряды.

Степенным рядом называют ряд

члены которого – степенные функции, расположенные по возрастающим целым неотрицательным степеням x , а c 0 , c 1 , c 2 , c n - постоянные величины. Числа c 1 , c 2 , c n - коэффициенты членов ряда, c 0 - свободный член. Члены степенного ряда определены на всей числовой прямой.

Ознакомимся с понятием области сходимости степенного ряда. Это множество значений переменной x , для которых ряд сходится. Степенные ряды имеют довольно простую область сходимости. Для действительных значений переменной x область сходимости состоит либо из одной точки, либо является некоторым интервалом (интервалом сходимости), либо совпадает со всей осью Ox .

При подстановке в степенной ряд значения x = 0 получится числовой ряд

c 0 +0+0+...+0+... ,

который сходится.

Следовательно, при x = 0 сходится любой степенной ряд и, значит, область его сходимости не может быть пустым множеством. Структура области сходимости всех степенных рядов одинакова. Её можно установить с помощью следующей теоремы.

Теорема 1 (теорема Абеля) . Если степенной ряд сходится при некотором значении x = x 0 , отличном от нуля, то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях |x | < |x 0 | . Обратите внимание: и отправное значение "икс нулевое" и любое значение "икса", которое сравнивается с отправным, взяты по модулю - без учёта знака.

Следствие. Если степенной ряд расходится при некотором значении x = x 1 , то он расходится и при всех значениях |x | > |x 1 | .

Как мы уже выяснили ранее, любой степенной ряд сходится при значении x = 0. Есть степенные ряды, которые сходятся только при x = 0 и расходятся при остальных значениях х . Исключая из рассмотрения этот случай, предположим, что степенной ряд сходится при некотором значении x = x 0 , отличном от нуля. Тогда, по теореме Абеля, он сходится во всех точках интервала ]-|x 0 |, |x 0 |[ (интервала, левой и правой границами которого являются значения икса, при котором степенной ряд сходится, взятые соответственно со знаком минус и со знаком плюс), симметричного относительно начала координат.

Если же степенной ряд расходится при некотором значении x = x 1 , то на основании следствия из теоремы Абеля он расходится и во всех точках вне отрезка [-|x 1 |, |x 1 |] . Отсюда следует, что для любого степенного ряда имеется интервал , симметричный относительно начала координат, называемый интервалом сходимости , в каждой точке которого ряд сходится, на границах может сходиться, а может и расходиться, при чем не обязательно одновременно, а вне отрезка ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

В частных случаях интервал сходимости степенного ряда может вырождаться в точку (тогда ряд сходится только при x = 0 и считается, что R = 0) или представлять собой всю числовую прямую (тогда ряд сходится во всех точках числовой прямой и считается, что ).

Таким образом, определение области сходимости степенного ряда заключается в определении его радиуса сходимости R и исследовании сходимости ряда на границах интервала сходимости (при ).

Теорема 2. Если все коэффициенты степенного ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля, то его радиус сходимости равен пределу при отношения абсолютных величин коэффициентов общего следующего за ним членов ряда, т.е..

Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Здесь

Используя формулу (28), найдём радиус сходимости данного ряда:

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости . В примере 13 показано, что данный ряд сходится при x = 1 и расходится при x = -1. Следовательно, областью сходимости служит полуинтервал .

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Коэффициенты ряда положительны, причём

Найдём предел этого отношения, т.е. радиус сходимости степенного ряда:

Исследуем сходимость ряда на концах интервала . Подстановка значений x = -1/5 и x = 1/5 в данный ряд даёт:

Первый из этих рядов сходится (см. пример 5). Но тогда в силу теоремы параграфа «Абсолютная сходимость» сходится и второй ряд, а область его сходимости – отрезок

Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Здесь

По формуле (28) находим радиус сходимости ряда:

Исследуем сходимость ряда при значениях . Подставив их в данный ряд, соответственно получим

Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости (их общие члены не стремятся к нулю при ). Итак, на обоих концах интервала сходимости данный ряд расходится, а область его сходимости – интервал .

Пример 5. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Находимо отношение , где , а :

Согласно формуле (28) радиус сходимости данного ряда

,

то есть ряд сходится только при x = 0 и расходится при остальных значениях х .

Примеры показывают, что на концах интервала сходимости ряды ведут себя различно. В примере 1 на одном конце интервала сходимости ряд сходится, а на другом – расходится, в примере 2 – на обоих концах сходится, в примере 3 – на обоих концах расходится.

Формула радиуса сходимости степенного ряда получена в предположении, что все коэффициенты членов ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля. Поэтому применение формулы (28) допустимо только в этих случаях. Если это условие нарушается, то радиус сходимости степенного ряда следует искать с помощью признака Даламбера , или же, сделав замену переменной, преобразованием ряда к виду, в котором указанное условие выполняется.

Пример 6. Найти интервал сходимости степенного ряда

Решение. Данный ряд не содержит членов с нечётными степенями х . Поэтому преобразуем ряд, полагая . Тогда получим ряд

для нахождения радиуса сходимости которого можно применить формулу (28). Так как , а , то радиус сходимости этого ряда

Из равенства получаем , следовательно, данный ряд сходится на интервале .

Сумма степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Пусть для степенного ряда

радиус сходимости R > 0, т.е. этот ряд сходится на интервале .

Тогда каждому значению х из интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда. Следовательно, сумма степенного ряда есть функция от х на интервале сходимости. Обозначая её через f (x ), можем записать равенство

понимая его в том смысле, что сумма ряда в каждой точке х из интервала сходимости равна значению функции f (x ) в этой точке. В этом же смысле будем говорить, что степенной ряд (29) сходится к функции f (x ) на интервале сходимости.

Вне интервала сходимости равенство (30) не имеет смысла.

Пример 7. Найти сумму сумму степенного ряда

Решение. Это геометрический ряд, у которого a = 1, а q = x . Следовательно, его сумма есть функция . Ряд сходится, если , а - его интервал сходимости. Поэтому равенство

справедливо лишь для значений , хотя функция определена для всех значений х , кроме х = 1.

Можно доказать, что сумма степенного ряда f (x ) непрерывна и дифференцируема на любом отрезке внутри интервала сходимости, в частности в любой точке интервала сходимости ряда.

Приведем теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании степенных рядов.

Теорема 1. Степенной ряд (30) в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз, причём получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что исходный ряд, а суммы их соответственно равны .

Теорема 2. Степенной ряд (30) можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до х , если , причём получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны

Разложение функций в степенные ряды

Пусть дана функция f (x ), которую требуется разложить в степенной ряд, т.е. представить в виде (30):

Задача состоит в определении коэффициентов ряда (30). Для этого, дифференцируя равенство (30) почленно, последовательно найдём:

……………………………………………….. (31)

Полагая в равенствах (30) и (31) х = 0, находим

Подставляя найденные выражения в равенство (30), получим

(32)

Найдём разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.

Пример 8. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Производные этой функции совпадают с самой функцией:

Поэтому при х = 0 имеем

Подставляя эти значения в формулу (32), получим искомое разложение:

(33)

Этот ряд сходится на всей числовой прямой (его радиус сходимости ).