Открытый урок решение логарифмических неравенств. План-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему: нестандартный способ лагарифмических неравенств

МБОУ Старогородковская СОШ

План конспект урока по теме:

Логарифмические неравенства

Ерашкова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ Старогородковская СОШ

2015 год

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение стр. 3-5

2. Основная часть стр. 6-20

3. Заключение стр. 21-22

4. Приложения стр. 23-24

5. Список литературы стр. 25

ВВЕДЕНИЕ

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у школьников интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль школьников, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

Возникновение интереса к математике у значительного числа школьников зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание школьников на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.

Логарифм – это греческое слово, которое состоит из 2-х слов: “логос”- отношение, “аритмос”- число. Значит, логарифм есть число, измеряющее отношение.

Этот термин был введен в 1594 году шотландским математиком Джоном Непером, который не был математиком по профессии, имел имение, занимался земледелием и изобретением приборов.

Выбор такого названия объясняется тем, что, действительно, логарифмы возникли при сопоставлении 2-х чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а второе — членом геометрической прогрессии.

Введение логарифмов позволяло производить быстро сложные вычисления. Были созданы первые таблицы логарифмов. Сначала они были 14-тизначные, постепенно усовершенствовались, сейчас есть 6-тизначные таблицы логарифмов.

Необходимо было упростить вычисления. Как вам известно, существуют действия трех ступеней:

1.сложение и вычитание.

2.умножение и деление.

3.возведение в степень.

Так вот логарифмы позволили перейти от сложных действий третьей ступени к действиям второй, а затем первой ступени. Т.е. от возведения в степень к умножению, от умножения к сложению, от деления к вычитанию. Таким образом, логарифмы чрезвычайно облегчают вычисления. Дают возможность находить сразу произведение любого числа множителей, возвышать в любую степень и извлекать корни с любым показателем.

Тема “Логарифмы” является традиционной в курсе алгебры и начал анализа средней школы, но очень трудно дается учащимся из-за сложности материала, концентрированности изложения. По действующим в настоящее время программам по математике средней школы изучение показательной и логарифмической функций планируется в конце курса алгебры и начал анализа 11-го класса, поэтому очень мало времени отводится на изучение данного материала.

На ЕГЭ по математике от 6 до 7 заданий на использование логарифмов и их свойств. Соответственно знания учащихся логарифмической функции намного ниже знаний свойств линейной, квадратичной и других функций, изучаемых ими на протяжении нескольких лет, следовательно, знания свойств данных функций у учащихся формальны, а все это проявляется при решении соответствующих уравнений, неравенств, систем уравнений. Учащиеся, которые захотят продолжить свое обучение в ВУЗах и колледжах, должны иметь полные и глубокие знания по данной теме.

В связи с этим и возникла необходимость в написании данной работы. Цель которой состояла в разработке методики изучения логарифмических неравенств.

Попытаться научить ребят за короткий промежуток времени мыслить, критически осмысливать окружающий мир (от критического анализа текста учебника, решения задачи до выработки собственного мнения по любой обсуждаемой проблеме). Не просто дать новый материал, “навязывая” его ученикам, а обеспечить необходимую мотивацию, используя проблемные ситуации, привлечение жизненного опыта учащихся, исторические сведения.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

Неравенства, содержащие переменную под знаком логарифма, называют логарифмическими.

Например:

При решении логарифмических неравенств важно помнить:

1) общие свойства неравенств;

2) свойство монотонности логарифмической функции;

3) область определения логарифмической функции.

Основные методы решения логарифмических неравенств

Методы решения логарифмических неравенств.

Пример 1. Решите неравенство < 1.

Решение. Пусть = . Далее решим неравенство < 1.

Получим:

( – 1)( + 1) < 0 -1< < 1.

Осталось решить двойное неравенство:

— 1 < < 1 < 2 > x > 0,5.

Ответ: .

Пример 2. Решите неравенство > 2 x .

Решение. Перепишем неравенство в виде:

> > 8 8 .

Пусть , получим:

Осталось решить неравенство 9.

Ответ: (2; +∞).

Пример 3. Решите неравенство 2 ≥ 1.

Решение. Перепишем неравенство виде:

— ≥ 1 — ≥ 1.

Пусть a = , тогда

– a ≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 ≤ 0.

Осталось решить совокупность неравенств:

Ответ : ; .

Пример 4. Решите неравенство

Решение. Последовательно воспользуемся утверждениями:

Двойное неравенство равносильно системе:

Ответ: (7; + ∞).

Пример 5. Решите неравенство

Решение. Рассмотрим случаи:

2

Но при x неравенство 35 – x неверно. Решений нет.

Ответ : (2; 3).

Метод замены множителей

При решении показательных и логарифмических неравенств можно воспользоваться и методом замены множителей.

Утверждение 1. Знак разности ( a – 1) ( f ( x ) – g ( x )) при x ОДЗ.

Или в виде схем:

(1)

Утверждение 2. Знак разности совпадает со знаком произведения ( h ( x ) – 1)( f ( x ) – g ( x )) при x ОДЗ.

(2)

Пример 1. Решите неравенство

Решение : Воспользуемся утверждением (1). Получим, что знак разности

совпадает со знаком разности (3 при условии, что x ОДЗ. Следовательно, данное неравенство равносильно системе:

Ответ : ; .

Тема урока: Логарифмические неравенства.

Цель урока:

1.Отработка умений систематизировать, обобщать свойства логарифмов, логарифмических функций; применять их при решении логарифмических неравенств; уметь применять различные методы решения логарифмических неравенств.

2. Развитие сознательного восприятия учебного материала, развитие зрительной памяти, развитие математической речи учащихся, формировать навыки самообучения, самоорганизации и самооценки. Способствовать развитию творческой деятельности учащихся.

3. Воспитание познавательной активности, воспитать у учащихся любовь и уважение к предмету, научить видеть в ней не только строгость, сложность, но и логичность, простоту и красоту.

Задачи урока:

1. Повышение интереса к предмету математика.

2. Закрепление новых знаний и умений по теме «Логарифмические неравенства»

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Приветствие, подготовка учащихся к уроку. Постановка целей урока. (Слайд № 2).

2. Актуализация субъективного опыта учащихся.

(Слайд № 3).

— Преподаватель: Символом сегодняшнего урока я взяла ракушку, а эпиграфом – слова:

«Мир так огромен,

Не хватит жизни, чтобы всё познать.

Но много есть похожего,

Ты можешь отыскать его во всём…»

— Преподаватель: Как вы считаете, о чём эти слова? И почему символ урока – ракушка — спираль?

— Учащиеся: В мире много разных вещей, явлений, но всегда можно найти что-то похожее, схожее друг с другом. Эта «схожесть» помогает лучше понять какое-либо явление или какой-нибудь новый факт.

— Преподаватель: Слова эпиграфа должны быть связаны с нашим сегодняшним уроком. На ваш взгляд, какая связь между эпиграфом и уроком?

Учащиеся: Видимо, мы сегодня будем изучать новую тему, материал которой похож на ранее изученный материал. Но, поскольку символ урока – спираль, то материал урока будет сложнее, чем то, что изучали ранее.

3. Мотивация. Организация восприятия.

— Преподаватель: Откройте, пожалуйста, тетради и запишите тему урока «Свойства логарифмических неравенств».

(Учащиеся записывают тему в тетрадях).

— Преподаватель: При изучении логарифмов, на самом первом уроке, мы с вами говорили о том, что с появлением компьютеров, логарифмы стали не так актуальны, как раньше. А зачем тогда мы их изучаем?

Учащиеся: Эта тема есть в программе, логарифмы будут на экзаменах, на ЕГЭ.

Сегодня на уроке мы будем использовать приёмы сравнения, анализа, обобщения. И хотя логарифмы могут и не понадобиться вам в жизни, но умения сравнивать, анализировать что-либо, обобщать, необходимы любому современному человеку, который хочет успешно построить свою профессиональную карьеру. И есть ещё один важный момент, объясняющий значение логарифмов для человечества. О нём я расскажу в конце урока.

— Преподаватель: Рассмотрим различные логарифмические неравенства, но для этого повторим свойства логарифмической функции. (Слайд № 4).

— Преподаватель: Соотнести графики функций. (Слайд № 5).

Учащиеся: 1) 2) 3)

— Преподаватель: Решение простейших логарифмических неравенств.

, .

a , b – действительные числа, a . (Слайды №№ 6, 7, 10).

— возрастает

Ответ: ;

— Преподаватель: Решим логарифмические неравенства заменой множителей (Слайд № 12).

Повторим формулы: (Слайд № 13).

(Слайд № 14).

(Слайд № 17).

(Слайд № 19).

4.Обобщение урока

— Преподаватель: А теперь я расскажу вам о том, какое значение имеет логарифмическая функция для всего человечества. Испокон веков целью математики было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны. Математики научились создавать математические модели различных явлений природы. Изучение таких моделей позволяет больше узнать о природных явлениях. Ряд явлений природы может описать логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции. (Слайд № 21). Одним из наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль, уравнение которой имеет вид: = loqa . А сама спираль (ракушка)– это символ нашего сегодняшнего урока.

— Преподаватель: Так почему же в качестве примера логарифмической зависимости в природе выбрали именно логарифмическую спираль? Известно, что живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детёныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причём рост совершается так, что сохраняется подобие раковины с её первоначальной формой. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали. (Слайд № 22). Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали. Великий немецкий поэт Иоганн-Вольфганг Гёте считал её даже математическим символом жизни и духовного развития.

По логарифмической спирали очерчены не только раковины. Например, паук Эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям. В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали; орешки в кедровой шишке располагаются тоже по логарифмической спирали; по логарифмическим спиралям закручены многие галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

— Учащиеся: Рассказывает о логарифмической спирали.

Логарифмическая спираль.

Логарифмическая спираль или изогональная спираль - особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis – «удивительная спираль».

Конспект урока «Решение логарифмических неравенств». 11 класс

Разработала и провела учитель первой категории Шайдулина Г.С.

Наш девиз: «Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий».

Многие физики шутят, что «Математика, царица наук, но служанка физики!» Также могут сказать химики, астрономы и даже музыканты. Действительно математика служит основой большинства наук и слова английского философа 16 века Роджера Бэкона « Тот, кто не знает математики не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить собственного невежества.» актуальны и в настоящее время

Тема нашего урока « Логарифмические неравенства».

Цель урока:

1) обобщить знания по теме

«Логарифмические неравенства»

2)рассмотреть типичные трудности, встречающиеся при решении логарифмических неравенств;

3) усилить практическую направленность данной темы для качественной подготовки к ЕГЭ.

Задачи:

Обучающие: повторение, обобщение и систематизация материала темы, контроль усвоения знаний и умений.

Развивающие: развитие математического и общего кругозора, мышления, речи, внимания и памяти.

Воспитательные: воспитание интереса к математики, активности, умения общаться, общей культуры.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектр, экран, карточки с заданиями, с формулами логарифмов.

Структура урока:

Организационный момент.

Повторение материала. Устная работа.

Историческая справка.

Работа над материалом.

Задания на дом.

Итог урока.

Логарифмическим неравенствам в вариантах ЕГЭ по математике посвящена задача C3 . Научиться решать задания C3 из ЕГЭ по математике должен каждый ученик, если он хочет сдать предстоящий экзамен на «хорошо» или «отлично».

Историческая справка.

Джону Неперу принадлежит сам термин «логарифм», который он перевел как «искусственное число». Джон Непер – шотландец. В 16 лет отправился на континент, где в течение пяти лет в различных университетах Европы изучал математику и другие науки. Затем он серьезно занимался астрономией и математикой. К идее логарифмических вычислений Непер пришел еще в 80-х годах XVI века, однако опубликовал свои таблицы только в 1614 году, после 25-летних вычислений. Они вышли под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц».

Начнем урок с устной разминки. Готовы?

Работа у доски.

Во время устной работы с классом двое учеников решают у доски примеры по карточкам.

1.Решите неравенство

2.Решите неравенство

(Учащиеся, выполнявшие задания у доски, комментируют свои решения, ссылаясь на соответствующий теоретический материал, а остальные вносят при необходимости корректировки.)

1) Укажите неверное равенство. Какое правило для этого надо использовать?

а) log 3 27 = 3
б) log 2 0,125 = – 3
а) log 0,5 0,5 = 1
а) lg 10000 = 5.

2)Сравните с нулем значения логарифма. Какое правило для этого надо использовать?

а) lg 7

б) log 0,4 3

в) log 6 0,2

д) log ⅓ 0,6

3) Я хочу вам предложить сыграть в морской бой. Я называю букву строки и номер столбца, а вы называете ответ и ищите соответствующую букву в таблице.

4) Какие из перечисленных логарифмических функций являются возрастающими, и какие убывающими. От чего это зависит?

5) Какова область определения логарифмической функции? Найдите область определения функции:

Разобрать решение на доске.

Как же решаются логарифмические неравенства?

На чем основано решение логарифмических неравенств?

На решение каких неравенств похоже?

(Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции, с учетом области определения логарифмической функции и общих свойств неравенств.)

Алгоритм решения логарифмических неравенств:

А) Найти область определения неравенства (подлогарифмическое выражение больше нуля).
Б) Представить (если возможно) левую и правую части неравенства в виде логарифмов по одному и тому же основанию.
В) Определить, возрастающей или убывающей является логарифмическая функция: если t>1, то возрастающая; если 01, то убывающая.
Г) Перейти к более простому неравенству (подлогарифмических выражений), учитывая, что знак неравенства сохранится, если функция возрастает, и изменится, если она убывает.

Проверка д.з.

1. log 8 (5х-10) < log 8 (14-х).

2. log 3 (х+2) + log 3 х =< 1.

3. log 0,5 (3х+1)< log 0,5 (2-х)

Учимся на чужих ошибках!!!

Кто первый найдет ошибку.

1.Найдите ошибку в решении неравенства:

а) log 8 (5х-10) < log 8 (14-х),

5 x -10 < 14- x ,

6 x < 24,

x < 4.

Ответ: х € (-∞; 4).

Ошибка: не учтена область определения неравенства.

Прокоментировать решение

Верное решение:

log 8 (5х-10)< log 8 (14-х) 

  2< x <4.

Ответ: х € (2;4).

2.Найдите ошибку в решении неравенства:

Ошибка: не учтена область определения исходного неравенства. Верное решение

Ответ: х .

3.Найдите ошибку в решении неравенства:

log 0,5 (3х+1)< log 0,5 (2-х) 

Ответ: х €

Ошибка: не учли основание логарифма.

Верное решение:

log 0,5 (3х+1)< log 0,5 (2-х)  

Ответ: х €

Анализируя варианты вступительных экзаменов по математике, можно заметить, что из теории логарифмов на экзаменах часто встречаются логарифмические неравенства, содержащие переменную под логарифмом и в основании логарифма.

Найдите ошибку в решении неравенства:

4 .

А как еще можно решить неравенство №4?

Кто решал другим методом?

Итак, ребята, подводных камней при решении логарифмических неравенств встречается много.

На что же мы должны обратить особое внимание при решении логарифмических неравенств? Как вы думаете?

Итак, что нужно для того, чтобы решать логарифмические уравнения и неравенства ?

Во-первых, внимание . Не допускайте ошибок в проводимых преобразованиях. Следите за тем, чтобы каждое ваше действие не расширяло и не сужало область допустимых значений неравенства, то есть не приводило ни к потере, ни к приобретению посторонних решений.

Во-вторых, умение мыслить логически . Составители ЕГЭ по математике заданиями C3 проверяют умение учащихся оперировать такими понятиями, как система неравенств (пересечение множеств), совокупность неравенств (объедение множеств), осуществлять отбор решений неравенства, руководствуясь его областью допустимых значений.

В-третьих, четкое знание свойств всех элементарных функций (степенных, рациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических), изучаемых в школьном курсе математики и понимание их смысла.

ВНИМАНИЕ!

1. ОДЗ исходного неравенства.

2 .Основание логарифма.

Решите уравнение:

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:

Данный урок разработан в системе уроков итогового повторения в 11 классе с целью актуализировать знания и умения учащихся решать логарифмические уравнения и неравенства. Хотя учащимся понадобятся знания по данной теме при выполнении небольшого количества заданий, тем не менее имеет смысл посвятить повторению этого материала хотя бы один урок.

Скачать:

Предварительный просмотр:

УРОК ОБОБЩЕНИЯ И СИСТЕМАТИЗАЦИИ ЗНАНИЙ И СПОСОБОВ ДЕЙСТВИЙ В СОЧЕТАНИИ С ИХ КОМПЛЕКСНЫМ ПРИМЕНЕНИЕМ

В 11 КЛАССЕ ПО ТЕМЕ:

«РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ»

НА ФЕСТИВАЛЬ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИДЕЙ «ОТКРЫТЫЙ УРОК».

ПОДГОТОВИЛА:

КОНСТАНТИНОВА О.Н.

Тема урока: Решение логарифмических уравнений и неравенств

Класс: 11

Цели урока:

Образовательные: создать условия для повторения и обобщения знаний учащихся по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств», систематизировать способы деятельности учащихся по применению комплекса знаний и способов действий в измененной и новой ситуациях, подготовка к ЕГЭ.

Развивающие: развивать способности применять теоретические знания на практике, развивать навыки работы с тестовыми заданиями, логическое мышление, память, внимание, развивать навыки самоконтроля.

Воспитательные: воспитывать ответственное отношение к изучению математики, трудолюбие, взаимопомощь, волю и настойчивость в достижении поставленной цели.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний и способов действий в сочетании с их комплексным применением.

Оборудование урока: компьютер, проектор, экран.

Ход урока:

1. Организация начала занятия.

Учащимся сообщается тема урока и цели, подчеркивается актуальность повторения данной темы для подготовки к ЕГЭ.

Учитель: Ребята, к сегодняшнему уроку я подобрала несколько высказываний известных философов – математиков и даже одного из полководцев. Думаю, что эти слова будут помогать нам в нашей с вами работе. Перед вами слова известного французского философа и математика Рене Декарта: «Недостаточно только иметь хороший разум, но главное - это хорошо применять его».

Наши знания должны работать и принести положительный результат на экзамене. Сегодня каждый из вас проведет диагностику своих знаний по данной теме, для этого у вас имеются диагностические карты, в которых вы оцените свои знания и возможности по каждому из разделов. В соответствии с этой оценкой на индивидуальных консультациях мы постараемся устранить имеющиеся пробелы.

Последуем совету Декарта и используем свои знания в устной работе.

II. Подготовка учащихся к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока:

а) актуализация опорных знаний

Учащиеся работают устно по упражнениям, представленным на экране с помощью проектора.

Давайте с вами ещё раз вспомним какие уравнения называются логарифмическими и заострим своё внимание на тех моментах, которые играют немаловажную роль при выполнении заданий.

1. Является ли уравнение lg5+xlg6=3 логарифмическим?
2. Существует ли хотя бы одно значение x , при котором верно равенство lg(x+3)=lgx+lg3
3. Записать область определения логарифмического уравнения log a f(x)=log b g(x) в виде системы неравенств.
4. Как решается уравнение, содержащее неизвестное и в основании, и в показателе степени, например x lg x = 10?
5. Нужна ли проверка полученных корней при решении логарифмических уравнений, почему? Решить двумя способами уравнение

log 3 (x+6) + log 3 (x-2) = 2 (два человека на отворотах доски).

1. Решите уравнения:

а) 2 x =3

б) 3 log 3 x =5

в) 7 log 7 x2 =36

г) lg(2x+1)=lgx

д) lgx 2 =0

е) lg(x+1)+lg(x-1)=lg3

ж) log 2 (x-4)=3

з) log 3 (x+5)=0

и) log 8 (x 2 -1)=1

к) lg(x-5) =-2

л) log 3 x=5log 3 2-2log 3 2

м) log 2 (log 3 x)=1

н) log π (log 3 (log 2 x))=0

7) Что такое логарифмические неравенства? На чем основано решение логарифмических неравенств?

8) Как решаются логарифмические неравенства вида log g(x) f(x)>b, log g(x) f(x)

9) по вариантам решить неравенства (два человека на отворотах доски).

1 вариант.

log 0.3 (2x-4) >log 0.3 (x+1)

2 вариант.

lg (3x-7) ≤ lg(x+1)

4. Учащимся предлагается выполнить тест с последующей проверкой. Тест представлен на экране. После выполнения теста на экран выводится слайд с ответами.

Тест:

первый вариант второй вариант

1.Решить уравнение:

log 0.5 (x 2 -4x-1) = -2 log 0.5 (x 2 -3x+10) = -3

1) -1 и 5; 2) 5; 3) 5 и -1; 4) -1. 1) 1; 2) 1 и 2; 3) 2; 4)-1и 2.

2.Укажите промежуток, которому принадлежит

корень уравнения:

log 2 (7+v) - log 2 (1-v) = 2 log 5 (t+5) – log 5 (t-11) = 1

1) [-7 ; -4]; 2) [-4; -1] 3) [-1 ; 2]; 4) 1) (-5; 0); 2) (0; 3); 3) (3; 8); 4) (10; 16)

3. Решить неравенство:

Log 0.5 (2x+5) > -3 log 0.5 (2x-5)

1) Ø; 2) (-∞; 1,5); 3) (-2,5; 1,5); 4) (-2,5; +∞) 1) Ø; 2) (2,5; 4,5); 3) (4,5; +∞); 4) (-∞; 2,5)

4. Какое из предложенных чисел является решением неравенства:

log √3.5 (x 2 -0,5) √2.5 (x 2 -6,5) > 2

1) -1.9; 2) -√5; 3) 2.3; 4) 5 1) √5/2; 2) 2.7; 3) 3; 4) 3.2

После окончания работы учащиеся сдают тест на отдельных листочках, оставив при этом для проверки номера выбранных ответов. Далее учащимся предоставляется возможность проверить и оценить свою работу.

На экране следующий слайд:

Первый вариант 1 3 3 1

Второй вариант 2 4 3 4

Верно 4 задания - оценка «5»

3 задания - оценка «4»

2 задания - оценка «3»

Другие варианты - «нужно поработать»

III. Закрепление и применение знаний и способов действий.

После того, как вы справились с обязательным уровнем подготовки, предлагаю заняться более интересным делом (цитирую слова Р. Декарта) «Для того, чтобы совершенствовать ум, надо больше размышлять, чем заучивать».

Предлагаю вам поразмышлять над следующими заданиями в группах. Как говориться «одна голова хорошо, а две – лучше».

Каждое ваше правильное решение поможет раскрыть одно мудрое изречение. (Дети работают с карточками в группах по 3-4 человека). Представитель каждой группы дает объяснение решения для всего класса.

На доске постепенно высвечивается высказывание А.В. Суворова «Скорость нужна, а поспешность вредна».

Задания в группах:

1) Решить уравнение:

x log 6 x/6 = 36

2) Решить неравенство:

log 2 3-x (x+0.5)/(x (x-1)) ≤ 0

3) Вычислите абсциссу точки пересечения графиков функций:

y = log 0.3 (x 2 - x - 5) и y = log 0.3 (x/3).

б) учащимся предлагается выполнить дифференцированную самостоятельную работу с последующей проверкой.

I вариант

1.Решить уравнение

log 2 0.5 x -log 0.5 x=6

2. Решить неравенство

lg 2 x+5lgx+9>0

II вариант

1.Решить уравнение

3/(lgx – 2)+2/(lgx – 3)= -4

2. Решить неравенство

lg 2 x 2 +3lgx>1

III вариант

1.Решить уравнение

|1-log 1/9 x|+1 = |2- log 1/9 x|

2. Решить неравенство

log 4 2 x + log 4 √x > 1.5

Выполнив работу, учащиеся сдают ее на проверку. На экран выводятся ответы и краткое решение. Учащимся предлагается проверить и оценить свою работу.

I вариант

1. ОДЗ: x >0, обозначим log 0.5 x=y

Y 2 -y-6=0

y 1 = -2 y 2 = 3

x 1 = 4 x 2 = 1/8

Ответ: x 1 = 4 x 2 = 1/8

2. ОДЗ: x >0, обозначим lg x = y

y 2 +5y+9>0

y – любое

x >0

Ответ: x >0

II вариант

1. ОДЗ: x >0, x ≠ 100, x ≠ 1000

lg x – 2 = y

3/y + 2/(y-1) = -4

4y 2 + y – 3 = 0, y ≠ 0, y ≠ 1

D = 49

y 1 = -1 y 2 = 3/4

x 1 = 10 x 2 = 100 4 √1000

Ответ: x 1 = 10 x 2 = 100 4 √1000

1. ОДЗ: x >0

lg x = y

4y 2 + 3y – 1 = 0

D = 25

y 1 = -1 y 2 = 1/4

x 1 = 0,1 x 2 = 4 √10

Ответ: x Є (0; 0,1) U (4 √10; +∞)

III вариант

1. ОДЗ: x >0

1 – log 1/9 x = y

| y |+1 = | 1+ y |

а) y

б) -1 ≤ y ≤ 0: -y + 1= 1 + y, y = 0

в) y >0: y + 1 = 1 + y, y >0

1 – log 1/9 x ≥ 0

log 1/9 x ≤ 1

x ≥ 1/9

Ответ: x ≥ 1/9

1. ОДЗ: x >0

log 4 x = y

2y 2 + y – 3 > 0

D = 25

y 1 = -3/2 y 2 = 1

log 4 x 4 x > 1

Ответ: x Є (0; 1/8) U (4; +∞)

Учащимся предлагается выставить оценку за самостоятельную работу.

IV. Домашнее задание :

Составить тест по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств». Задания могут быть с выбором ответа или с кратким ответом.

V . Итоги урока. Рефлексия.

1. Благодаря сегодняшнему уроку, я …
2. Сегодняшний урок помог мне …
3. Сегодня на уроке мне запомнилось …
4. Сегодня на уроке мне больше всего понравилось …
5. После сегодняшнего урока мне захотелось …
6. Сегодня на уроке я узнал(а) …
7. После сегодняшнего урока я буду знать …
8. После сегодняшнего урока я хочу сказать …
9. Сегодня на уроке я научился …
10. Сегодняшний урок дал мне …

Ребята, вы выставили себе оценки за каждый этап урока. Найдите средний балл, это есть предварительный результат вашей работы на уроке.

Довольны ли вы собой, своей работой?

Поднимите, пожалуйста, руку те, чей средний балл «5» или «4». Это результат хороший.

Ребята, а с теми из вас, кто не доволен результатами своей работы по данной теме, у кого есть вопросы, мы с вами встречаемся на дополнительном занятии.

Благодарю вас за урок и до следующей встречи.

Приложения к уроку

Приложение № 1 – презентация

Приложение № 2 – диагностическая карта

Решите уравнения: а) 2 x =3 б) 3 log 3 x =5 в) 7 log 7 x2 =36 г) lg(2x+1)=lgx д) lgx 2 =0 е) lg(x+1)+lg(x-1)=lg3 ж) log 2 (x-4)=3 з) log 3 (x+5)=0 и) log 8 (x 2 -1)=1 к) lg(x-5) =-2 л) log 3 x=5log 3 2-2log 3 2 м) log 2 (log 3 x)=1 н) log π (log 3 (log 2 x))=0

Логарифмические неравенства Что такое логарифмические неравенства? На чем основано решение логарифмических неравенств? Как решаются логарифмические неравенства вида log g (x) f (x)> b , log g (x) f (x) log 0.3(x +1) 2 вариант. lg (3 x -7) ≤ lg (x +1)

первый вариант второй вариант 1.Решить уравнение: log 0.5 (x 2 -4x-1) = -2 log 0.5 (x 2 -3x+10) = -3 1) -1 и 5; 2) 5; 3) 5 и -1; 4) -1. 1) 1; 2) 1 и 2; 3) 2; 4) -1и 2. 2.Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения: log 2 (7+v) - log 2 (1-v) = 2 log 5 (t+5) – log 5 (t-11) = 1 1) [-7 ; -4]; 2) [-4; -1] 3) [-1 ; 2]; 4) 1) (-5; 0); 2) (0; 3); 3) (3; 8); 4) (10; 16) 3. Решить неравенство: log 0.5 (2 x +5) > -3 log 0.5 (2 x -5) 2 1) -1.9; 2) -√5; 3) 2.3; 4) 5 1) √5/2; 2) 2.7; 3) 3; 4) 3.2 Тест

Ответы к тесту Первый вариант 1 3 3 1 Второй вариант 2 4 3 4 Верно 4 задания - оценка «5» 3 задания - оценка «4» 2 задания - оценка «3» Другие варианты - «нужно поработать»

«Для того, чтобы совершенствовать ум, надо больше размышлять, чем заучивать» Р. Декарт

«Скорость нужна, а поспешность вредна» А.В. Суворов Задания в группах: 1) Решить уравнение: x log 6 x /6 = 36 2) Решить неравенство: log 2 3-x (x+0.5)/(x (x-1)) ≤ 0 3) Вычислите абсциссу точки пересечения графиков функций: y = log 0.3 (x 2 - x - 5) и y = log 0.3 (x/3).

Самостоятельная работа I вариант 1.Решить уравнение log 2 0.5 x - log 0.5 x =6 2. Решить неравенство lg 2 x+5lgx+9>0 II вариант 1.Решить уравнение 3/(lgx – 2)+2/(lgx – 3)= -4 2. Решить неравенство lg 2 x 2 + 3lgx > 1 III вариант 1.Решить уравнение |1- log 1/9 x |+1 = |2- log 1/9 x | 2. Решить неравенство log 4 2 x + log 4 √x > 1.5

Проверка самостоятельной работы. I вариант 1. ОДЗ: x >0, обозначим log 0.5 x = y y 2 - y -6=0 y 1 = -2 y 2 = 3 x 1 = 4 x 2 = 1/8 Ответ: x 1 = 4 x 2 = 1/8 2. ОДЗ: x >0, обозначим lg x = y y 2 +5 y +9>0 D 0 Ответ: x >0

Проверка самостоятельной работы. II вариант 1. ОДЗ: x >0, x ≠ 100 , x ≠ 100 0 lg x – 2 = y 3/ y + 2/(y -1) = -4 4 y 2 + y – 3 = 0, y ≠ 0, y ≠ 1 D = 49 y 1 = - 1 y 2 = 3/4 x 1 = 10 x 2 = 100 4√1000 Ответ: x 1 = 10 x 2 = 100 4√1000 2. ОДЗ: x >0 lg x = y 4 y 2 + 3 y – 1 = 0 D = 25 y 1 = -1 y 2 = 1/4 x 1 = 0,1 x 2 = 4√10 Ответ: x Є (0; 0,1) U (4√10; +∞)

Проверка самостоятельной работы. III вариант 1. ОДЗ: x >0 1 – log 1/9 x = y | y |+1 = | 1+ y | а) y 0: y + 1 = 1 + y, y >0 1 – log 1/9 x ≥ 0 log 1/9 x ≤ 1 x ≥ 1/9 Ответ: x ≥ 1/9 2. ОДЗ: x >0 log 4 x = y 2y 2 + y – 3 > 0 D = 25 y 1 = -3/2 y 2 = 1 log 4 x 1 x 4 Ответ: x Є (0; 1/8) U (4 ; +∞)

«Ошибка одного- урок другому» Д. Рей

Информация о домашнем задании Домашнее задание: составить тест по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств». Задания могут быть с выбором ответа или с кратким ответом.

Рефлексия деятельности Благодаря сегодняшнему уроку, я … Сегодняшний урок помог мне … Сегодня на уроке мне запомнилось … Сегодня на уроке мне больше всего понравилось … После сегодняшнего урока мне захотелось … Сегодня на уроке я узнал(а) … После сегодняшнего урока я буду знать … После сегодняшнего урока я хочу сказать … Сегодня на уроке я научился … Сегодняшний урок дал мне …

Областное государственное автономное

профессиональное общеобразовательное учреждение

«Ютановский агромеханический техникум

имени Евграфа Петровича Ковалевского»

Методическая разработка

урока по математике:

Решение логарифмических

уравнений и неравенств

Выполнила:

преподаватель математики

Тарановская В.П.

2016 год

Тема урока: Решение логарифмических уравнений и неравенств

Цель урока: повторить понятие и свойства логарифма; изучить способы решения логарифмических уравнений и закрепить их при выполнении упражнений.

Задачи:

Обучающие: повторить определение и основные свойства логарифмов, уметь применять их в вычислении логарифмов, в решении логарифмических уравнений;

Развивающие: формировать умение решать логарифмические уравнения;

Воспитательные: воспитывать настойчивость, самостоятельность; прививать интерес к предмету

Тип урока: урок изучения нового материала.

Пед. технологии: информационно-коммуникационные, коллективная система обучения – вариационная пара, разноуровневое обучение.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, экран.

Структура и ход урока:

Организационный момент.

Проверка готовности обучающихся и кабинета к занятию. Объявление темы.

Устная работа.

Закрепление понятия логарифма, повторение его основных свойств и свойств логарифмической функции:

1. Разминка по теории :

1. Дайте определение логарифма.

2. От любого ли числа можно найти логарифм?

3. Какое число может стоять в основании логарифма?

4. Функция y =log 0,8 x является возрастающей или убывающей? Почему?

5. Какие значения может принимать логарифмическая функция?

6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

7. Назовите основные свойства логарифмов.

8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать?

2. Работа по карточка :

3. Фронтальный опрос класса (сопровождается слайдами презентации)

Вычислить:

4. Сравнить числа :

log ½ е и log ½ π;

log 2 √5/2 и log 2 √3/2.

5. Выяснить знак выражения log 0,8 3 · log 6 2/3

Изучение нового материала:

Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение .
Способы решения логарифмических уравнений:

Решение уравнений на основании определения логарифма

Метод потенцирования

Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества

Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию

Группа делиться на микрогруппы по 4 человека. Каждый из четырех членов группы выбирает один из способов решения, разбирается с ним (при затруднении можно обратиться к преподавателю), проводит взаимообучение с остальными тремя товарищами. Далее вместе прорешивают четыре примера, ответы проверяются у преподавателя.

Решение уравнений на основании определения логарифма.

Имеет решение .

На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:

по данным основаниям и числу определяется логарифм,

по данному логарифму и основанию определяется число,

по данному числу и логарифму определяется основание.

Метод потенцирования.

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т.е. , то , при условии, что .

Пример: Решите уравнение

Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества.

Пример: Решите уравнение

Конспект урока на тему «Решение логарифмические неравенства»

Подготовила учитель математики

Муниципального общеобразовательного

учреждения «Средняя общеобразовательная

школа № 75» Ленинского района г. Саратова

Чернозубова Светлана Николаевна

Е -mail:

Web- сайт : http://svetlana-1970.ucoz.ru

Тема: «Решение логарифмические неравенства»

Образовательная цель:

Воспитательные цели:

формировать такие качества личности, как ответственность, организованность, дисциплинированность;

формировать системное мышление.

Развивающие цели:

развивать память учащихся;

развивать познавательный интерес школьников.

Оборудование: мультимедийная система, проектор, компьютеры. (по количеству обучающихся)

Ход урока

I Организационный момент

Дорогие ребята, я надеюсь, что наше знакомство будет приятным для вас и для меня и этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех присутствующих.

Очень хочу, чтобы с нашего урока все ушли с глубоким убеждением: математика - интересный предмет.

Девиз урока: "Мне необходимо разобраться самому, а чтобы разобраться самому, надо думать сообща".
М. Монтень

2. Актуализация знаний.

Логарифмы. Основное логарифмическое тождество. Логарифмическая функция .

а)Указания учителя. Вспомните определение логарифма, график логарифмической функции и ее свойства. ( ), карточка ресурс: 2. Определение логарифма. Основное логарифмическое тождество.

Слайд 1

(
), карточка ресурса: 2.Логарифмическая функция и ее основные свойства.

Решение логарифмических неравенств.

А) Указание учителя. Повторим способы решения логарифмических неравенств.

( ), карточка ресурса: 3. Логарифмические неравенства

Слайд 1

б) Деятельность обучающихся.

Перечисляют алгоритм решения логарифмических неравенств:

Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции.

А) Найти область определения неравенства (подлогарифмическое выражение больше нуля).
Б) Представить (если возможно) левую и правую части неравенства в виде логарифмов по одному и тому же основанию.
В) Определить, возрастающей или убывающей является логарифмическая функция: если t>1, то возрастающая; если 0 1, то убывающая.
Г) Перейти к более простому неравенству (подлогарифмических выражений), учитывая, что знак неравенства сохранится, если функция возрастает, и изменится, если она убывает. (Проверка с помощью тренажера)

Слайд 2

Слайд 2

3. Практическая работа. (тренажер) а) Указание учителя. Входим вкладку практика. Выполняем задание 1, задание 2 и задание 3. Б) Деятельность обучающихся . Выполняют задания: Решить неравенство. Задание 1. Задание 2. Задание 3.

Слайд 3

Слайд 4

Слайд 5

Слайд 6

Слайд 7

Слайд 8

Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11

Слайд 12

Слайд 13

Слайд 14

5. Подведение итога . Выставление отметок. Мы на уроке повторили определение логарифма, основное логарифмическое свойство, аналитический способ решения логарифмических неравенств.

а) мне было легко; б) мне было как обычно; в) мне было трудно.