Смотреть страницы где упоминается термин поле корреляции. Корреляционное поле

Графически взаимосвязь двух признаков изображается с помощью поля корреляции. В системе координат на оси абсцисс откладываются значения факторного признака , а на оси ординат - результативного. Каждое пересечение линий, проводимых через эти оси, обозначается точкой. При отсутствии тесных связей имеет место беспорядочное расположение точек на графике (рис. 11.1).  

Изобразим полученную зависимость графически точками координатной плоскости (рис. 3.1). Такое изображение статистической зависимости называется полем корреляции.  

Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.  

При изучении зависимости между двумя признаками графический метод подбора вида уравнения регрессии достаточно нагляден. Он основан на поле корреляции. Основные типы кривых, используемые при количественной оценке связей, представлены на рис. 2.1.  

Поскольку не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии , то всегда имеет место их разброс как обусловленный влиянием фактора х, т. е. регрессией у по х, так и вызванный действием прочих причин (необъясненная вариация). Пригодность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации признака у приходится на объясненную вариацию. Очевидно, что если сумма квадратов отклонений , обусловленная регрессией, будет больше остаточной суммы квадратов , то уравнение регрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенное воздействие на результату. Это равносильно тому, что коэффициент детерминации г2 будет приближаться к единице.  

Соответственно для зависимости, изображенной на полях корреляции рис. 3,5 б) и в), гетероскедастичность остатков представлена на рис. 3.9 и 3.10.  

Если же величины независимы, то "поле корреляции" или па-  

Если поле корреляции может быть аппроксимировано прямой, которая называется линией регрессии , то приступают к вычислению коэффициента парной корреляции г. Его числовые значения заключены в интервале [-1, 1]. Если г равно 1 или -1, то существует функциональная прямая или обратная связь . Когда г близок к нулю, связь между явлениями отсутствует, а при г 0,7 связь считается существенной. Коэффициент корреляции рассчитывают по формуле  

После выделения названных выше групп железнодорожных хозяйств был использован еще один приближенный прием предварительного анализа однородности совокупности по каждой группе железнодорожных хозяйств - построение полей корреляции каждого из включенных в исследование факторов с себестоимостью перевозок. Основным признаком однородности или неоднородности выбранных совокупностей служило отсутствие или наличие разрывов и скачков в расположении точек на полях корреляции.  

Для изучения были предварительно выбраны путем профессионального логического анализа все возможные факторы, данные об изменении которых по предприятиям имеются в отчетности министерства. Такими факторами следует считать общий объем перевозок, среднюю производительность вагонов и локомотивов рабочего парка, грузонапряженность, фондоемкость единицы перевозок и производительность труда и др. (всего 11 факторов). Таким образом, по четырем группам предприятий было построено 44 поля корреляции.  

После определения указанных величин получается уравнение парной зависимости, графическое изображение которого в осях координат называется теоретической линией регрессии . Если на такое поле нанести все замеры, а не только теоретическую линию регрессии , то мы получим поле корреляции.  

Исходный материал систематизируем на поле корреляции и в корреляционной таблице. В нашем примере в качестве фактора выступает стоимость машин См, а в качестве функции - среднегодовая численность рабочих Р.  

В результате разбивки на интервалы вся плоскость, на которой нанесены замеры по обоим признакам к и у, называемая полем корреляции, представит собой клетки, причем каждый замер характеризуется не точными значениями своих координат, а лишь значениями интервала, в который он отнесен.  

На рис. 16 представлено поле корреляции, на котором по оси абсцисс даны интервалы для значений аргумента Сы, а по оси ординат - интервалы для значения функции Р. Построенное таким способом поле корреляции называется вторичным.  

Для выбора интервалов может быть построено также первичное поле корреляции. Все точки на этом поле проставлены с учетом значений их координат. По густоте расположения точек и намечаются интервалы.  

Наряду с построением поля корреляции, как указано выше, составляется корреляционная таблица, в которой производятся все вычисления, связанные с определением средних, построением эмпирической линии регрессии и исходных данных для определения параметров в системе нормальных уравнений.  

В табл. 36 весь материал распределен по интервалам. Используя его, строим вторичное поле корреляции, на которое наносим все значения переменных, и определяем средние значении (/, //,. .., уп по интервалам. Соединив между собой средние значения в каждом интервале отрезками прямых линий, получаем эмпирическую линию регрессии (см. рис. 16).  

Восстанавливая из центра каждого интервала перпендикуляр к оси абсцисс, откладываем на каждом из них соответствующие значения у но интервалам г/, = 1081, 1/2 = 1774 и т. д. Полученные точки соединяем между собой отрезками прямых. Полученная ломаная линия представляет собой эмпирическую линию регрессии для зависимости между стоимостью машин См и численностью рабочих Р. По аналогии с проведенными вычислениями мы можем построить корреляционные таблицы и поля корреляции для выявления зависимости между численностью рабочих Р, объемами работ О, количеством сборных бетонных и железобетонных конструкций /Иж.б.  

Рис. 18. Корреляционная таблица и вторичное поле корреляции зависимости численности рабочих и объема применения сборных железобетонных конструкций

/info/5440">Уравнения парной регрессии и выведенной в дальнейшем множественной регрессии применимы в случае, если переменные изменяются в следующих пределах численность рабочих - от 850 до 7850 чел., стоимость машин - от 0,15 до 3,15 млн. руб., объем сборных конструкций - от 10 до 230 тыс. m и откладывают по вертикальной оси, в значения независимой - по горизонтальной. Поле корреляции используется при определении формы зависимости между переменными, График дает исследователю первое   В соответствии с третьей предпосылкой МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения фактора Xj остатки е,- имеют одинаковую дисперсию. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастнчность. Наличие гетероскедастич-ности можно наглядно видеть из поля корреляции (рис. 3.5).   Другая типичная исследовательская задача - оценка взаимосвязи между явлениями - решается с помощью хорошо разработанного в математической статистике аппарата теории корреляции. Для этого необходимо иметь выборки по сравниваемым явлениям, показанным на картах разной тематики (например, Д и В). Значения а и Ь, берут в одних и тех же /-х точках, т.е. строго скоординированно, и затем строят график поля корреляции.

Вам понадобится

• - ряд распределения из зависимой и независимой переменной;
• - бумага, карандаш;
• - компьютер и программа для работы с электронными таблицами.

Инструкция

Выберите две , между которыми, как вы полагаете, есть взаимосвязь, обычно берут , которые изменяются со временем. Учтите, что одна из переменных должна быть независимой, она будет выступать в качестве причины. Вторая при этом должна изменяться с ней – уменьшаться, увеличиваться или меняться случайным образом.

Измерьте значение зависимой переменной для каждого независимой. Занесите результаты в таблицу, в две строки или два столбца. Для обнаружения наличия связи нужно не менее 30 показаний, но для получения более точного результата позаботьтесь о наличии не менее 100 точек.

Постройте координатную плоскость, при этом на оси ординат отложите значения зависимой переменной, а на оси абсцисс – независимой. Подпишите оси и укажите единицы измерения каждого показателя.

Отметьте на графике точки корреляционного поля. На оси абсцисс найдите первое значение независимой переменной, а на оси ординат – соответствующее ему значение зависимой. Постройте перпендикуляры к этим проекциям и найдите первую точку. Отметьте ее, обведите мягким карандашом или ручкой. Точно также постройте все остальные точки.

Полученная совокупность точек и называется корреляционным полем . Проанализируйте полученный график, сделайте выводы о наличии сильной или слабой причинно-следственной связи, либо ее отсутствии.

Обратите внимание на случайные отклонения от графика. Если в целом прослеживается линейная или другая зависимость, но всю «картину» портят одна-две точки, оказавшиеся в стороне от общей совокупности, их можно случайными ошибками и не учитывать при интерпретации графика.

Если вам необходимо построить и проанализировать поле корреляции для большого количества данных, воспользуйтесь программами, предназначенными для работы с электронными таблицами, например, Excel, или приобретите специальные программы.

Взаимосвязь нескольких величин, во время которой изменения одной приводит к изменению остальных, называется корреляцией. Она бывает простой, множественной или частичной. Это понятие принято не только в математике, но и в биологии.

Слово корреляция произошло от латинского correlatio, взаимосвязь. Все явления, события и предметы, а также характеризующие их величины связаны между собой. Корреляционная зависимость отличается от функциональной тем, что в этом типе зависимости, каких-либо могут быть измерены только в среднем, приближенно.Корреляционная зависимость предполагает, что переменная величина соответствует изменениям независимой величины лишь с определенной степенью вероятности. Степень зависимости носит название коэффициента корреляции.В понятие корреляции - это соотношение строения и функций отдельных частей организма.Довольно часто понятием корреляция пользуются статистики. В статистке это взаимоотношение между статистическими величинами, рядами и группами. Для определения наличия или отсутствия или наличия корреляции используют специальный метод. Метод корреляции применяется для определения прямого или обратного в изменениях чисел в рядах, которые сравнивают. Когда найден, то саму меру или степень параллелизма. Но внутренние причинно-следственные факторы таким путем не отыскиваются. Основная задача статистики как науки - обнаруживать такие причинные зависимости другим наукам.По форме корреляционная связь может быть линейной или нелинейной, положительной и отрицательной. Когда с увеличением или убыванием одной из переменных другая так же растет или убывает, то взаимосвязь линейна. Если же при изменении одной величины, характер изменений другой нелинеен, то это корреляция нелинейна.Положительной корреляция считается тогда, когда повышение уровня одной величины сопровождается повышением уровня другой. Например, когда усиление звука сопровождается ощущением повышения его тона.Корреляция, когда рост уровня одной переменной сопровождается снижением уровня другой, называется отрицательной. В сообществах повышенный уровень тревожности особи приводит к тому, что снижается вероятность занять этой особью главенствующей ниши среди собратьев.Когда связь переменных отсутствует, корреляция носит названий нулевой.

Видео по теме

Источники:

• Нелинейная корреляция в 2019

Корреляцией называют взаимную зависимость двух случайных величин (чаще - двух групп величин), при которой изменение одной из них приводит и к изменению другой. Коэффициент корреляции показывает, насколько вероятно изменение второй величины при смене значений первой, т.е. степень ее зависимости. Самый простой способ вычисления этой величины - воспользоваться соответствующей функцией, встроенной в табличный редактор Microsoft Office Excel.

Вам понадобится

• Табличный редактор Microsoft Office Excel.

Инструкция

Запустите Excel и откройте документ, содержащий группы данных, коэффициент корреляции между которыми требуется вычислить. Если такого документа еще не создано, то введите данные в - табличный редактор создает ее автоматически при запуске программы. Каждую из групп значений, корреляция между которыми вас интересует, вводите в отдельную колонку. Это не обязательно должны быть соседние колонки, вы свободны оформить таблицу наиболее удобным образом - добавить дополнительные столбцы с пояснениями к данным, заголовки колонок, итоговые ячейки с суммарными или средними значениями и т.д. Можно даже располагать данные не в вертикальном (в колонках), а в горизонтальном (в строках) направлении. Единственное требование, которое надо соблюдать - ячейки с данными каждой группы должны располагаться последовательно одна за другой, чтобы таким образом создавался непрерывный массив.

Перейдите в ячейку, которая должна будет содержать значение корреляции данных двух массивов, и кликните в меню Excel закладку «Формулы». В группе команд «Библиотека функций» щелкните по самой последней пиктограмме - «Другие функции». Раскроется выпадающий список, в котором вам следует перейти в раздел «Статистические» и выбрать функцию КОРРЕЛ. В результате откроется окно мастера функций с формой, предназначенной для заполнения. Это же окно можно вызвать и без вкладки «Формулы», просто щелкнув по пиктограмме вставки функции, размещенной левее строки формул.

Укажите первую группу коррелирующих данных в поле «Массив1» мастера формул. Чтобы ввести диапазон ячеек вручную наберите адрес первой и последней клеток, разделив их двоеточием (без пробелов). Другой вариант - просто выделите нужный диапазон мышкой, а нужную запись в это поле формы Excel поместит самостоятельно. Такую же операцию надо проделать и со второй группой данных в поле «Массив2».

Нажмите кнопку OK. Табличный редактор рассчитает и отобразит значение корреляции в ячейке с формулой. При необходимости вы можете сохранить этот документ для дальнейшего использования (сочетание клавиш Ctrl + S).

Регрессионный и корреляционный анализ – статистические методы исследования. Это наиболее распространенные способы показать зависимость какого-либо параметра от одной или нескольких независимых переменных.

Ниже на конкретных практических примерах рассмотрим эти два очень популярные в среде экономистов анализа. А также приведем пример получения результатов при их объединении.

Регрессионный анализ в Excel

Показывает влияние одних значений (самостоятельных, независимых) на зависимую переменную. К примеру, как зависит количество экономически активного населения от числа предприятий, величины заработной платы и др. параметров. Или: как влияют иностранные инвестиции, цены на энергоресурсы и др. на уровень ВВП.

Результат анализа позволяет выделять приоритеты. И основываясь на главных факторах, прогнозировать, планировать развитие приоритетных направлений, принимать управленческие решения.

Регрессия бывает:

• линейной (у = а + bx);
• параболической (y = a + bx + cx 2);
• экспоненциальной (y = a * exp(bx));
• степенной (y = a*x^b);
• гиперболической (y = b/x + a);
• логарифмической (y = b * 1n(x) + a);
• показательной (y = a * b^x).

Рассмотрим на примере построение регрессионной модели в Excel и интерпретацию результатов. Возьмем линейный тип регрессии.

Задача. На 6 предприятиях была проанализирована среднемесячная заработная плата и количество уволившихся сотрудников. Необходимо определить зависимость числа уволившихся сотрудников от средней зарплаты.

Модель линейной регрессии имеет следующий вид:

У = а 0 + а 1 х 1 +…+а к х к.

Где а – коэффициенты регрессии, х – влияющие переменные, к – число факторов.

В нашем примере в качестве У выступает показатель уволившихся работников. Влияющий фактор – заработная плата (х).

В Excel существуют встроенные функции, с помощью которых можно рассчитать параметры модели линейной регрессии. Но быстрее это сделает надстройка «Пакет анализа».

Активируем мощный аналитический инструмент:

После активации надстройка будет доступна на вкладке «Данные».

Теперь займемся непосредственно регрессионным анализом.

В первую очередь обращаем внимание на R-квадрат и коэффициенты.

R-квадрат – коэффициент детерминации. В нашем примере – 0,755, или 75,5%. Это означает, что расчетные параметры модели на 75,5% объясняют зависимость между изучаемыми параметрами. Чем выше коэффициент детерминации, тем качественнее модель. Хорошо – выше 0,8. Плохо – меньше 0,5 (такой анализ вряд ли можно считать резонным). В нашем примере – «неплохо».

Коэффициент 64,1428 показывает, каким будет Y, если все переменные в рассматриваемой модели будут равны 0. То есть на значение анализируемого параметра влияют и другие факторы, не описанные в модели.

Коэффициент -0,16285 показывает весомость переменной Х на Y. То есть среднемесячная заработная плата в пределах данной модели влияет на количество уволившихся с весом -0,16285 (это небольшая степень влияния). Знак «-» указывает на отрицательное влияние: чем больше зарплата, тем меньше уволившихся. Что справедливо.



Корреляционный анализ в Excel

Корреляционный анализ помогает установить, есть ли между показателями в одной или двух выборках связь. Например, между временем работы станка и стоимостью ремонта, ценой техники и продолжительностью эксплуатации, ростом и весом детей и т.д.

Если связь имеется, то влечет ли увеличение одного параметра повышение (положительная корреляция) либо уменьшение (отрицательная) другого. Корреляционный анализ помогает аналитику определиться, можно ли по величине одного показателя предсказать возможное значение другого.

Коэффициент корреляции обозначается r. Варьируется в пределах от +1 до -1. Классификация корреляционных связей для разных сфер будет отличаться. При значении коэффициента 0 линейной зависимости между выборками не существует.

Рассмотрим, как с помощью средств Excel найти коэффициент корреляции.

Для нахождения парных коэффициентов применяется функция КОРРЕЛ.

Задача: Определить, есть ли взаимосвязь между временем работы токарного станка и стоимостью его обслуживания.

Ставим курсор в любую ячейку и нажимаем кнопку fx.

1. В категории «Статистические» выбираем функцию КОРРЕЛ.
2. Аргумент «Массив 1» - первый диапазон значений – время работы станка: А2:А14.
3. Аргумент «Массив 2» - второй диапазон значений – стоимость ремонта: В2:В14. Жмем ОК.

Чтобы определить тип связи, нужно посмотреть абсолютное число коэффициента (для каждой сферы деятельности есть своя шкала).

Для корреляционного анализа нескольких параметров (более 2) удобнее применять «Анализ данных» (надстройка «Пакет анализа»). В списке нужно выбрать корреляцию и обозначить массив. Все.

Полученные коэффициенты отобразятся в корреляционной матрице. Наподобие такой:

Корреляционно-регрессионный анализ

На практике эти две методики часто применяются вместе.

Пример:

Теперь стали видны и данные регрессионного анализа.

Различают два вида зависимости между экономическими явле­ниями : функциональную и статистическую. Зависимость между дву­мя величинами X и Y , отображающими соответственно два явле­ния, называется функциональной , если каждому значению величины x соответствует единственное значение величины Y и наоборот. Примером функциональной связи в экономике может служить за­висимость производительности труда от объема произведенной продукции и затрат рабочего времени. При этом следует отметить, что если Х – детерминированная, не случайная величина, то и фун­кционально зависящая от нее величина Y тоже является детерминированной. Если же Х – величина случайная, то и Y также случай­ная величина.

Однако гораздо чаще в экономике имеет место не функциональ­ная, а статистическая зависимость , когда каждому фиксирован­ному значению независимой переменой X соответствует не одно, а множество значений зависимой переменной Y, причем заранее нельзя сказать, какое именно значение примет Y . Это связано с тем, что на Y кроме переменной X влияют и многочисленные неконт­ролируемые случайные факторы. В этой ситуации Y является слу­чайной величиной, а переменная X может быть как детерминиро­ванной, так и случайной величиной.

Частным случаем статистичес­кой зависимости является корреляционная зависимость , при кото­рой функциональной зависимостью связаны фактор X и среднее значение (математическое ожидание) результативного показателя Y . Статистическая зависимость может быть выявлена лишь по результатам достаточно большого числа наблюдений. Графически статистическая зависимость двух признаков может быть представлена с помощью поля корреляции, при построении которого на оси абсцисс откладывается значение факторного признака X , а по оси ординат – результирующего Y .

Корреляционная связь – частный случай статистической связи, при котором разным значениям переменной соответствуют разные средние значения другой переменной. Корреляционная связь предполагает, что изучаемые переменные имеют количественное выражение.

Если изучается связь между двумя признаками, налицо парная корреляция; если изучается связь между многими признаками – множественная корреляция.

В качестве примера на рис.

1 представлены данные, иллюстри­рующие прямую зависимость между х и у (рис. 1, а) и обратную зависимость (рис. 1, б). В случае «а» это прямая зависимость между, к примеру, среднедушевым доходом (х ) и сбережением (у ) в семье. В случае «б» речь идет об обратной зависимости. Такова, наш пример, зависимость между производительностью труда (х ) и себе­стоимостью единицы продукции (у ). На рис. 1 каждая точка характер изучает объект наблюдения со своими значениями х и у .

Рис. 1. Поле корреляции

На рис. 1 также представлены прямые линии, линейные уравнения регрессии типа , характеризующие функциональную зависимость между независимой переменной х и средним зна­чением результативного показателя у . Таким образом, по уравнению регрессии, зная х , можно восстановить лишь среднее значение у .

1. Тема работы.

2. Краткие теоретические сведения.

3. Порядок выполнения работы.

4. Исходные данные для разработки математической модели.

5. Результаты разработки математической модели.

6. Результаты исследования модели. Построение прогноза.

7. Выводы.

В задачах 2-4 можно использовать ППП Excel для расчетов характеристик модели.

Работа № 1.

Построение моделей парной регрессии. Проверка остатков на гетероскедастичность.

По 15 предприятиям, выпускающим один и тот же вид продукции известны значения двух признаков:

х - выпуск продукции, тыс. ед.;

у - затраты на производство, млн. руб.

x	y
5,3	18,4
15,1	22,0
24,2	32,3
7,1	16,4
11,0	22,2
8,5	21,7
14,5	23,6
10,2	18,5
18,6	26,1
19,7	30,2
21,3	28,6
22,1	34,0
4,1	14,2
12,0	22,1
18,3	28,2

Требуется:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи .

2. Построить модели:

Линейной парной регрессии.

Полулогарифмической парной регрессии.

2.3 Степенной парной регрессии.
Для этого:

2. Оценить тесноту связи с помощью коэффициента (индекса)
корреляции.

3. Оценить качество модели с помощью коэффициента (индекса)
детерминации и средней ошибки аппроксимации .

4. Дать с помощью среднего коэффициента эластичности
сравнительную оценку силы связи фактора с результатом .

5. С помощью F -критерия Фишера оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования .

По значениям характеристик, рассчитанных в пунктах 2-5 выбрать лучшее уравнение регрессии.

Используя метод Гольфрельда-Квандта проверить остатки на гетероскедастичность.

Строим поле корреляции.

Анализируя расположение точек поля корреляции, предполагаем, что связь между признаками х и у может быть линейной, т.е. у=а+bх , или нелинейной вида: у=а+blnх, у = ах b .

Основываясь на теории изучаемой взаимосвязи, предполагаем получить зависимость у от х вида у=а+bх, т. к. затраты на производство y можно условно разделить на два вида: постоянные, не зависящие от объема производства - a , такие как арендная плата, содержание администрации и т.д.; и переменные, изменяющиеся пропорционально выпуску продукции bх, такие как расход материала, электроэнергии и т.д.

2.1. Модель линейной парной регрессии .

2.1.1. Рассчитаем параметры a и b линейной регрессии у=а+bх .

Строим расчетную таблицу 1.

Таблица 1

Параметры a и b уравнения

Y x = a + bx

Разделив на n b :

Уравнение регрессии:

=11,591+0,871x

С увеличением выпуска продукции на 1 тыс. руб. затраты на производство увеличиваются на 0,871 млн. руб. в среднем, постоянные затраты равны 11,591 млн. руб.

2.1.2. Тесноту связи оценим с помощью линейного коэффициента парной корреляции.

Предварительно определим средние квадратические отклонения признаков.

Средние квадратические отклонения:

Коэффициент корреляции:

Между признаками X и Y наблюдается очень тесная линейная корреляционная связь.

2.1.3. Оценим качество построенной модели.

т. е. данная модель объясняет 90,5% общей дисперсии у , на долю необъясненной дисперсии приходится 9,5%.

Следовательно, качество модели высокое.

А i .

Предварительно из уравнения регрессии определим теоретические значения для каждого значения фактора.

Ошибка аппроксимации А i , i =1…15:

Средняя ошибка аппроксимации:

2.1.4. Определим средний коэффициент эластичности:

Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1% затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,515%.

2.1.5. Оценим статистическую значимость полученного уравнения.
Проверим гипотезу H 0 , что выявленная зависимость у от х носит случайный характер, т. е. полученное уравнение статистически незначимо. Примем α=0,05. Найдем табличное (критическое) значение F- критерия Фишера:

Найдем фактическое значение F - критерия Фишера:

следовательно, гипотеза H 0 H 1 x и y неслучайна.

Построим полученное уравнение.

2.2. Модель полулогарифмической парной регрессии .

2.2.1. Рассчитаем параметры а и b в регрессии:

у x =а +blnх .

Линеаризуем данное уравнение, обозначив:

y=a + bz .

Параметры a и b уравнения

= a + bz

определяются методом наименьших квадратов:

Рассчитываем таблицу 2.

Таблица 2

Разделив на n и решая методом Крамера, получаем формулу для определения b :

Уравнение регрессии:

= -1,136 + 9,902z

2.2.2. Оценим тесноту связи между признаками у и х .

Т. к. уравнение у = а + bln x линейно относительно параметров а и b и его линеаризация не была связана с преобразованием зависимой переменной _у , то теснота связи между переменными у и х , оцениваемая с помощью индекса парной корреляции R xy , также может быть определена с помощью линейного коэффициента парной корреляции r yz

среднее квадратическое отклонение z :

Значение индекса корреляции близко к 1, следовательно, между переменными у и х наблюдается очень тесная корреляционная связь вида = a + bz.

2.2.3. Оценим качество построенной модели.

Определим коэффициент детерминации:

т. е. данная модель объясняет 83,8% общей вариации результата у , на долю необъясненной вариации приходится 16,2%. Следовательно, качество модели высокое.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации А i .

Предварительно из уравнения регрессии определим теоретические значения для каждого значения фактора. Ошибка аппроксимации А i , :

, i =1…15.

Средняя ошибка аппроксимации:

.

Ошибка небольшая, качество модели высокое.

2.2.4.Определим средний коэффициент эластичности:

Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1% затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,414%.

2.2.5. Оценим статистическую значимость полученного уравнения.
Проверим гипотезу H 0 , что выявленная зависимость у от х носит случайный характер, т.е. полученное уравнение статистически незначимо. Примем α=0,05.

Найдем табличное (критическое) значение F -критерия Фишера:

Найдем фактическое значение F -критерия Фишера:

следовательно, гипотеза H 0 отвергается, принимается альтернативная гипотеза H 1 : с вероятностью 1-α=0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными x и y неслучайна.

Построим уравнение регрессии на поле корреляции

2.3. Модель степенной парной регрессии.

2.3.1. Рассчитаем параметры а и b степенной регрессии:

Расчету параметров предшествует процедура линеаризации данного уравнения:

и замена переменных:

Y=lny, X=lnx, A=lna

Параметры уравнения:

определяются методом наименьших квадратов:

Рассчитываем таблицу 3.

Определяем b :

Уравнение регрессии:

Построим уравнение регрессии на поле корреляции:

2.3.2. Оценим тесноту связи между признаками у и х с помощью индекса парной корреляции R yx .

Предварительно рассчитаем теоретическое значение для каждого значения фактора x, и , тогда:

Значение индекса корреляции R xy близко к 1, следовательно, между переменными у и х наблюдается очень тесная корреляционная связь вида:

2.3.3. Оценим качество построенной модели.

Определим индекс детерминации:

R 2 =0,936 2 =0,878,

т. е. данная модель объясняет 87,6% общей вариации результата у, а на долю необъясненной вариации приходится 12,4%.

Качество модели высокое.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации.

Ошибка аппроксимации А i , i =1…15:

Средняя ошибка аппроксимации:

Ошибка небольшая, качество модели высокое.

2.3.4. Определим средний коэффициент эластичности:

Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1% затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,438%.

2.3.5.Оценим статистическую значимость полученного уравнения.

Проверим гипотезу H 0 , что выявленная зависимость у от х носит случайный характер, т. е. полученное уравнение статистически незначимо. Примем α=0,05.

табличное (критическое) значение F -критерия Фишера:

фактическое значение F -критерия Фишера:

следовательно, гипотеза H 0 отвергается, принимается альтернативная гипотеза H 1 : с вероятностью 1-α=0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными x и y неслучайна.

Таблица 3

3. Выбор лучшего уравнения.

Составим таблицу полученных результатов исследования.

Таблица 4

Анализируем таблицу и делаем выводы.

ú Все три уравнения оказались статистически значимыми и надежными, имеют близкий к 1 коэффициент (индекс) корреляции, высокий (близкий к 1) коэффициент (индекс) детерминации и ошибку аппроксимации в допустимых пределах.

ú При этом характеристики линейной модели указывают, что она несколько лучше полулогарифмической и степенной описывает связь между признаками x и у.

ú Поэтому в качестве уравнения регрессии выбираем линейную модель.