Значение линейного коэффициента корреляции. Пример нахождения коэффициента корреляции
Коэффициент корреляции - это мера линейной зависимости двух случайных величин в теории вероятностей и статистике. Некоторые виды коэффициентов корреляции могут быть положительными или отрицательными. В первом случае предполагается, что мы можем определить только наличие или отсутствие связи, а во втором - также и её направление.
Случайная величина в теории вероятности
Коэффициент корреляции - это статистический показатель, показывающий, насколько связаны между собой колебания значений двух других показателей. Например, насколько движение доходности ПИФа связано, перекликается (коррелирует) с движением индекса, выбранного для расчета коэффициента бета для этого ПИФа. Чем ближе значение коэффициента корреляции к 1, тем больше коррелируют ПИФ и индекс, а значит коэффициент бета и, следовательно, коэффициент альфа можно принимать к рассмотрению. Если значение этого коэффициента корреляции меньше 0,75, то указанные показатели бессмысленны.
Круговорот случайных величин
Корреляционный анализ занимается степенью связи между двумя случайными величинами Х и Y.
Корреляционный анализ экспериментальных данных для двух случайных величин заключает в себе следующие основные приемы:
1. Вычисление выборочных коэффициентов корреляции.
2. Составление корреляционной таблицы.
3. Проверка статистической гипотезы значимости связи.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Корреляционная зависимость между случайными величинами Х и Y называется линейной корреляцией, если обе функции регрессии f(x) и φ(x) являются линейными. В этом случае обе линии регрессии являются прямыми; они называется прямыми регрессии.
Для достаточно полного описания особенностей корреляционной зависимости между величинами недостаточно определить форму этой зависимости и в случае линейной зависимости оценить ее силу по величине коэффициента регрессии. Например, ясно, что корреляционная зависимость возраста Y учеников средней школы от года Х их обучения в школе является, как правило, более тесной, чем аналогичная зависимость возраста студентов высшего учебного заведения от года обучения, поскольку среди студентов одного и того же года обучения в вузе обычно наблюдается больший разброс в возраcте, чем у школьников одного и того же класса.
Для оценки тесноты линейных корреляционных зависимостей между величинами Х и Y по результатам выборочных наблюдений вводится понятие выборочного коэффициента линейной корреляции, определяемого формулой:
где σ X и σ Y выборочные средние квадратические отклонения величин Х и Y, которые вычисляются по формулам:
Следует отметить, что основной смысл выборочного коэффициента линейной корреляции r B состоит в том, что он представляет собой эмпирическую (т.е. найденную по результатам наблюдений над величинами Х и Y) оценку соответствующего генерального коэффициента линейной корреляции r: r=r B (9)
Принимая во внимание формулы:
видим, что выборочное уравнение линейной регрессии Y на Х имеет вид:
(10)
где . То же можно сказать о выборочном уравнений линейной регрессии Х на Y:
(11)
Основные свойства выборочного коэффициента линейной корреляции:
1. Коэффициент корреляции двух величин, не связанных линейной корреляционной зависимостью, равен нулю.
2. Коэффициент корреляции двух величин, связанных линейной корреляционной зависимостью, равен 1 в случае возрастающей зависимости и -1 в случае убывающей зависимости.
3. Абсолютная величина коэффициента корреляции двух величин, связанных линейной корреляционной зависимостью, удовлетворяет неравенству 0<|r|<1. При этом коэффициент корреляции положителен, если корреляционная зависимость возрастающая, и отрицателен, если корреляционная зависимость убывающая.
4. Чем ближе |r| к 1, тем теснее прямолинейная корреляция между величинами Y, X.
По своему характеру корреляционная связь может быть прямой и обратной, а по силе – сильной, средней, слабой. Кроме того, связь может отсутствовать или быть полной.
Сила и характер связи между параметрами
Пример 4. Изучалась зависимость между двумя величинами Y и Х. Результаты наблюдений приведены в таблице в виде двумерной выборки объема 11:
X | |||||||||||
Y |
Требуется:
1) Вычислить выборочный коэффициент корреляции;
2) Оценить характер и силу корреляционной зависимости;
3) Написать уравнение линейной регрессии Y на Х.
Решение. По известным формулам:
Отсюда, по (7) и (8):
Таким образом, следует сделать вывод, что рассматриваемая корреляционная зависимость между величинами Х и Y является по характеру – обратной, по силе – средней.
3) Уравнение линейной регрессии Y на Х:
Пример 5. Изучалась зависимость между качеством Y (%) и количеством Х (шт). Результаты наблюдений приведены в виде корреляционной таблицы:
Y\X | n y | ||||
90 | |||||
n x |
Требуется вычислить выборочный коэффициент линейной корреляции зависимости Y от Х.
Решение. Для упрощения вычислений перейдем к новым переменным – условным вариантам (u i , v i), воспользовавшись формулами (*) (§3) при h 1 =4, h 2 =5, x 0 =26, y 0 =80. Для удобства перепишем данную таблицу в новых обозначениях:
u\v | -2 | -1 | n v | ||
-2 | |||||
-1 | |||||
n u |
Имеем при x i =u i и y j =v j:
Таким образом:
Отсюда,
Вывод: Корреляционная зависимость между величинами Х и Y - прямая и сильная.
Множественный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между одной переменной и совокупностью других рассматриваемых переменных.
Особое значение имеет расчет множественного коэффициента корреляции результативного признака y с факторными x1, x2,…, xm, формула для определения которого в общем случае имеет вид
где ∆r – определитель корреляционной матрицы; ∆11 – алгебраическое дополнение элемента ryy корреляционной матрицы.
Если рассматриваются лишь два факторных признака, то для вычисления множественного коэффициента корреляции можно использовать следующую формулу:
Построение множественного коэффициента корреляции целесообразно только в том случае, когда частные коэффициенты корреляции оказались значимыми, и связь между результативным признаком и факторами, включенными в модель, действительно существует.
Линейный коэффициент корреляции
Более совершенным показателем степени тесноты связи является линейный коэффициент корреляции (r ).
При расчете этого показателя учитываются не только знаки отклонений индивидуальных значений признака от средней, но и сама величина таких отклонений, т.е. соответственно для факторного и результативного признаков, величины и . Однако непосредственно сопоставлять между собой полученные абсолютные величины нельзя, так как сами признаки могут быть выражены в разных единицах (как это имеет место в представленном примере), а при наличии одних и тех же единиц измерения средние могут быть различны по величине. В этой связи сравнению могут подлежать отклонения, выраженные в относительных величинах, т.е. в долях среднего квадратического отклонения (их называют нормированными отклонениями). Так, для факторного признака будем иметь совокупность величин , а для результативного .
Полученные нормированные отклонения можно сравнивать между собой. Для того чтобы на основе сопоставления рассчитанных нормированных отклонений получить обобщающую характеристику степени тесноты связи между признаками для всей совокупности, рассчитывают среднее произведение нормированных отклонений. Полученная таким образом средняя и будет являться линейным коэффициентом корреляции r .
(1.2)
или поскольку s x и s y для данных рядов являются постоянными и могут быть вынесены за скобку, то формула линейного коэффициента корреляции приобретает следующий вид:
(1.3)
Линейный коэффициент корреляции может принимать любые значения в пределах от –1 до +1. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее связь между признаками. Знак при линейном коэффициенте корреляции указывает на направление связи: прямой зависимости соответствует знак плюс, а обратный зависимости – знак минус.
Если с увеличением значений факторного признака х , результативный признак у имеет тенденцию к увеличению, то величина коэффициента корреляции будет находиться между 0 и 1. Если же с увеличением значений х результативный признак у имеет тенденцию к снижению, коэффициент корреляции может принимать значения в интервале от 0 до –1.
Полученная величина линейного коэффициента корреляции, как и найденный выше коэффициент Фехнера, свидетельствует о возможном наличии достаточно тесной прямой зависимости между затратами на рекламу и количеством туристов, воспользовавшихся услугами фирмы.
Квадрат коэффициента корреляции (r 2) носит название коэффициента детерминации . Для рассматриваемого примера его величина равна 0,6569, а это означает, что 65,69% вариации числа клиентов, воспользовавшихся услугами фирмы, объясняется вариацией затрат фирм на рекламу своих услуг.
Здесь еще раз следует напомнить, что сама по себе величина коэффициента корреляции не является доказательством наличия причинно-следственной связи между исследуемыми признаками, а является оценкой степени взаимной согласованности в изменениях признаков. Установлению причинно-следственной зависимости предшествует анализ качественной природы явлений. Но есть и еще одно обстоятельство, объясняющее формулировку выводов о возможном наличии связи по величине коэффициента корреляции.
Связано это с тем, что оценка степени тесноты связи с помощью коэффициента корреляции производится, как правило, на основе более или менее ограниченной информации об изучаемом явлении. Возникает вопрос, насколько правомерно наше заключение по выборочным данным в отношении действительного наличия корреляционной связи в той генеральной совокупности, из которой была произведена выборка?
Различные экономические явления как на микро-, так и на макроуровне не являются независимыми, а связаны между собой (цена товара и спрос на него, объём производства и прибыль фирмы и.т.д.).
Эта зависимость может быть строго функциональной (детермированной) и статистической.
Зависимость между и называется функциональной, когда каждому значению одного признака соответствует одно единственное значение другого признака. (Примером такой однозначной зависимости может служить зависимость площади круга от радиуса).
В реальной действительности чаще встречается иная связь между явлениями, когда каждому значению одного признака могут соответствовать несколько значений другого (например, связь между возрастом детей и их ростом).
Форма связи, при которой один или несколько взаимосвязанных показателей (факторов) оказывают влияние на другой показатель (результат) не однозначно, а с определенной долей вероятности, называется статистической. В частности, если при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой, то в этом случае статистическую зависимость называют корреляционной.
В зависимости от числа факторов, включаемых в модель, различают парную корреляцию (связь двух переменных) и множественную (зависимость результата от нескольких факторов).
Корреляционный анализ состоит в определении направления, формы и степени связи (тесноты) между двумя (несколькими) случайными признаками и.
По направлению корреляция бывает положительной (прямой), если при увеличении значений одной переменной увеличивается значение другой, и отрицательной (обратной), если при увеличении значений одной переменной, уменьшается значение другой.
По форме корреляционная связь может быть линейной (прямолинейной), когда изменение значений одного признака приводит к равномерному изменению другого (математически описывается уравнением прямой), и криволинейной, когда изменение значений одного признака приводит к неодинаковым изменениям другого (математически она описывается уравнениями кривых линий, например гиперболы, параболы и т.д.).
Простейшей формой зависимости между переменными является линейная зависимость. И проверка наличия такой зависимости, оценивание её индикаторов и параметров является одним из важнейших направлений эконометрики.
Существуют специальные статистические методы и, соответственно, показатели, значения которых определённым образом свидетельствуют о наличии или отсутствии линейной связи между переменными.
Коэффициент линейной корреляции
Наиболее простым, приближенным способом выявления корреляционной связи является графический.
При небольшом объеме выборки экспериментальные данные представляют в виде двух рядов связанных между собой значений и. Если каждую пару представить точкой на плоскости, то получится так называемое корреляционное поле (рис.1).
Если корреляционное поле представляет собой эллипс, ось которого расположена слева направо и снизу вверх (рис.1в), то можно полагать, что между признаками существует линейная положительная связь.
Если корреляционное поле вытянуто вдоль оси слева направо и сверху вниз (рис.1г), то можно полагать наличие линейной отрицательной связи.
В случае же если точки наблюдений располагаются на плоскости хаотично, т.е корреляционное поле образует круг (рис.1а), то это свидетельствует об отсутствии связи между признаками.
На рис.1б представлена строгая линейная функциональная связь.
Под теснотой связи между двумя величинами понимают степень сопряженности между ними, которая обнаруживается с изменением изучаемых величин. Если каждому заданному значению соответствуют близкие друг другу значения, то связь считается тесной (сильной); если же значения сильно разбросаны, то связь считается менее тесной. При тесной корреляционной связи корреляционное поле представляет собой более или менее сжатый эллипс.
Количественным критерием направления и тесноты линейной связи является коэффициент линейной корреляции.
Коэффициент корреляции, определяемый по выборочным данным, называется выборочным коэффициентом корреляции. Он вычисляется по формуле:
где, текущие значения признаков и; и средние арифметические значения признаков; - среднее арифметическое произведений вариант, и средние квадратические отклонения этих признаков; объём выборки.
Для вычисления коэффициента корреляции достаточно принять предположение о линейной связи между случайными признаками. Тогда вычисленный коэффициент корреляции и будет мерой этой линейной связи.
Коэффициент линейной корреляции принимает значения от?1 в случае строгой линейной отрицательной связи, до +1 в случае строгой линейной положительной связи (т.е.). Близость коэффициента корреляции к 0 свидетельствует об отсутствии линейной связи между признаками, но не об отсутствии связи между ними вообще.
Коэффициенту корреляции можно дать наглядную графическую интерпретацию.
Если, то между признаками существует линейная функциональная зависимость вида, что означает полную корреляцию признаков. При, прямая имеет положительный наклон по отношению к оси, при отрицательный (рис. 1б).
Если, точки находятся в области ограниченной линией, напоминающей эллипс. Чем ближе коэффициент корреляции к, тем уже эллипс и тем теснее точки сосредоточены вблизи прямой линии. При говорят о положительной корреляции. В этом случае значения имеют тенденцию к возрастанию с увеличением (рис.1в). При говорят об отрицательной корреляции; значения имеют тенденцию к уменьшению с ростом (рис.1г).
Если, то точки располагаются в области, ограниченной окружностью. Это означает, что между случайными признаками и отсутствует корреляция, и такие признаки называются некоррелированными (рис.1а).
Также коэффициент линейной корреляции может быть близок (равен) нулю, когда между признаками есть связь, но она нелинейная (рис.2).
При оценке тесноты связи можно использовать следующую условную таблицу:
Заметим, что в числителе формулы для выборочного коэффициента линейной корреляции величин и с тоит их показатель ковариации:
Этот показатель, как и коэффициент корреляции характеризует степень линейной связи величин и. Если он больше нуля, то связь между величинами положительная, если меньше нуля, то связь - отрицательная, равен нулю - линейная связь отсутствует.
В отличие от коэффициента корреляции показатель ковариации нормирован - он имеет размерность, и его величина зависит от единиц измерения и. В статистическом анализе показатель ковариации обычно используется, как промежуточный элемент расчёта коэффициента линейной корреляции. Т.о. формула расчёта выборочного коэффициента корреляции приобретает вид:
Оценка значимости (достоверности) коэффициента корреляции
Следует отметить, что истинным показателем степени линейной связи переменных является теоретический коэффициент корреляции, который рассчитывается на основании данных всей генеральной совокупности (т.е. всех возможных значений показателей):
где - теоретический показатель ковариции, который вычисляется как математическое ожидание произведений отклонений СВ и от их математических ожиданий.
Как правило, теоретический коэффициент корреляции мы рассчитать не можем. Однако из того, что выборочный коэффициент не равен нулю не следует, что теоретический коэффициент также (т.е. показатели могут быть линейно независимыми). Т.о. по данным случайной выборки нельзя утверждать, что связь между показателями существует.
Выборочный коэффициент корреляции является оценкой теоретического коэффициента, т.к. он рассчитывается лишь для части значений переменных.
Всегда существует ошибка коэффициента корреляции. Эта ошибка - расхождение между коэффициентом корреляции выборки объемом и коэффициентом корреляции для генеральной совокупности определяется формулами:
при; и при.
Проверка значимости коэффициента линейной корреляции означает проверку того, насколько мы можем доверять выборочным данным.
С этой целью проверяется нулевая гипотеза о том, что значение коэффициента корреляции для генеральной совокупности равно нулю, т.е. в генеральной совокупности отсутствует корреляция. Альтернативной является гипотеза.
Для проверки этой гипотезы рассчитывается - статистика (-критерий) Стьюдента:
Которая имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. По таблицам распределения Стьюдента определяется критическое значение. Если рассчитанное значение критерия, то нуль-гипотеза отвергается, то есть вычисленный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля с вероятностью.
Если же, тогда нулевая гипотеза не может быть отвергнута. В этом случае не исключается, что истинное значение коэффициента корреляции равно нулю, т.е. связь показателей можно считать статистически незначимой.
Пример 1. В таблице приведены данные за 8 лет о совокупном доходе и расходах на конечное потребление.
Изучить и измерить тесноту взаимосвязи между заданными показателями.
КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ В
ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ
Основные понятия в корреляционном и регрессионном анализе
В математике существуют два понятия, отражающие причинно-следственные связи между признаками: функциональная и корреляционная зависимость.
Под функциональной зависимостью понимается такая связь между величинами, когда значение зависимой величины – функции – полностью определяется значениями зависимых переменных.
Корреляционная зависимость имеет место, когда каждому значекнию одной (результативной) величины соответствует множество случайных значений другой, возникающей с определенной вероятностью.
При изучении экономических явлений мы имеем дело не с функциональной, а с корреляционной зависимостью. С помощью корреляционного и регрессионного анализа можно рассчитать коэффициенты корреляции , которые оценивают силу связи между отдельными показателями, подобрать
уравнение регрессии , которое определяет форму этой связи, и установить достоверность существования этой связи.
Процесс корреляционного и регрессионного анализа экономических процессов состоит из следующих этапов:
Предварительная обработка статистических данных и выбор основных факторных признаков, влияющих на результативный показатель;
Оценка тесноты связи и выявление формы существующей связи между результативным и факторными признаками;
Разработка модели (многофакторной) изучаемого явления и ее анализ;
Применение полученных результатов проведенного анализа для принятия управленческих решений.
Перед корреляцией стоят две основные задачи. Первая заключается в выявлении, как изменяется в среднем результативный признак в связи с изменением факторного. Эта задача решается нахождением уравненимя связи. Вторая задача определяет степень влияния искажающих факторов. Эту задачу решают путем изучения показателей тесноты связи. Такими показателями являются коэффициенты корреляции и корреляционное отношение.
2. Результативный и факторный признаки . При изучении влияния одних признаков явлений на другие из цепи признаков, характеризующих данное явление, выделяются два - признака-факторный (влияющий на результат) и результативный. Необходимо установить, какой из признаков является факторным и какой результативным. В этом помогает прежде всего логический анализ.
Пример . Себестоимость промышленной продукции отдельного предприятия зависит от многих факторов, в том числе от объема продукции на данном предприятии. Себестоимость продукции выступает в этом случае как результативный признак, а объем продукции - как факториальный.
Другой пример. Чтобы судить о преимуществах крупных предприятий перед мелкими, можно рассмотреть, как увеличивается производительность труда рабочих крупных предприятий, и выявить зависимость производительности труда от увеличения размеров предприятия.
3. Понятие об уравнение связи. Уравнение этой функции будет уравнением связи между результативным и факториальным признаками.
Уравнение связи находится с помощью способа наименьших квадратов, который требует, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений от значений, получаемых на основании уравнения связи, была минимальной.
Применение способа наименьших квадратов позволяет находить параметры уравнения связи при помощи решения системы так называемых нормальных уравнений, различных для связи каждого вида.
Чтобы отметить, что зависимость между двумя признаками выражается и среднем, значения результативного признака, найденные по уравнению связи, обозначаются Ух.
Зная уравнение связи, можно вычислить заранее среднее значение результативного признака, когда значение. факториального признака известно. Таким образом, уравнение связи является методом обобщения наблюдаемых статистических связей, методом их изучения.
Применение той или иной функции в качестве уравнения связи разграничивает связи по их форме: линейную связь и криволинейную связь (параболическую, гиперболическую и др.).
Рассмотрим уравнения связи для зависимостей от одного признака при разных формах связи, (линейной, криволинейной параболической, гиперболической) и для множественной связи.
4. Линейная зависимость между признаками . Уравнение связи как уравнение прямой Ух==ао+а1х применяется в случае равномерного нарастания результативного признака с увеличением признака факториального. Такая зависимость будет зависимостью линейной (прямолинейной).
Параметры уравнения прямой линии ао и а1 находятся путем решения системы нормальных уравнений, получаемых по способу наименьших квадратов:
Примером расчета параметров уравнения и средних значений результативного признака Ух может служить следующая таблица, являющаяся результатом группировки по факториальному признаку и подсчета средних по результативному признаку.
Группировка предприятий по стоимости основных средств и подсчет сумм необходимы для уравнения связи.
Из таблицы находим: n==6; =18; =39,0; =71,5
132.0. Строим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
Поделив каждый член в обоих уравнениях на коэффициенты при aо получим:
Вычтем из второго уравнения первое: 0,97а1=0,83; а1==0,86. Подставив значения а1 в первое уравнение aо+3*0,86 =6,5, найдем ао=6,5-2,58=+3,92.
Уравнение связи примет вид: yx=3,92+0,86х. Подставив в это уравнение соответствующие х, получим значения результативного признака, отражающие среднюю зависимость у от х в виде корреляционной зависимости.
Заметим, что суммы, исчисленные по уравнению и фактические, равны между собой. Изображение фактических и вычисленных значений на рис. 4 показывает, что уравнение связи отображает наблюденную зависимость в среднем.
5. Параболическая зависимость между признаками . Параболическая зависимость, выражаемая уравнением параболы 2-го порядка уx =ао+a1x+a2x 2 , имеет место при ускоренном возрастании или убывании результативного признака в сочетании с равномерным возрастанием факториального признака.
Параметры уравнения параболы aо; а1; а2, вычисляются путем решения системы 3 нормальных уравнений:
Возьмем для примера зависимость месячного выпуска продукции (у) от величины стоимости основных средств (х). Оба показателя округлены до миллионов рублей. Расчеты необходимых сумм приведем в табл. 5.
По данным таблицы составляем систему уравнений:
6. Уравнение гиперболы. Обратная связь указывает на убывание результативного признака при возрастании факториального. Такова линейная связь при отрицательном значении а1. В ряде других случаев обратная связь может быть выражена уравнением гиперболы
Параметры уравнения гиперболы ао и а1 находятся из системы нормальных уравнений:
7. Корреляционная таблица. При большом объеме наблюдений, когда число взаимосвязанных пар велико, парные данные легко могут быть расположёны в корреляционной таблице, являющейся наиболее удобной формой представления значительного количества пар чисел.
В корреляционной таблице один признак располагается в строках, а другой - в колонках таблицы. Число, расположенное в клетке на пересечении графы и колонки, показывает, как часто встречается данное значение результативного признака в сочетании с данным значением факториального признака.
Для простоты расчета возьмем небольшое число наблюдений на 20 предприятиях за средней месячной выработкой продукции на одного рабочего (тыс. руб.-у) и за стоимостью основных производственных средств (млн. руб.-.х).
В обычной парной таблице эти сведения располагаются так:
Итоги строк у показывают частоту признака nу, итоги граф х - частоту признака nx. Числа, стоящие в клетках корреляционной таблицы, являются частотами, относящимися к обоим признакам и обозначаются, nxy.
Корреляционная таблица даже при поверхностном знакомстве дает общее представление о прямой и обратной связи. Если частоты расположены по диагонали вниз направо, то связь между признаками прямая (при увеличивающихся значениях признака в строках и графах). Если же частоты расположены по диагонали вверх направо, то связь обратная.
8. Корреляционное отношение. Если произведено измерение явления по двум признакам, то имеется возможность находить меры рассеяния (главным образом дисперсию) по результативному признаку для одних и тех же значений факториального признака.
Дана, например, корреляционная таблица двух взаимозависимых рядов, в которых для простоты имеется лишь три.значения факториального признака количества внесенных удобрений (х), а результативный признак-урожайность (у)-значительно колеблется. Таблица 16
Каждая группа участков с разной урожайностью имела разное количество внесенных удобрений. Так, когда вносилось удобрений по 20 г/ урожайность" на разных участках была равной: на одном участке она составила 0,8 т, на двух участках- 0,9 т, на трех- 1,0 т и на одном - 1,1 т. Найдем среднюю урожайность и дисперсию по урожайности для этой группы участков.
Для группы участков с количеством внесенных удобрений 30,0 г средняя урожайность составит:
Вычислим аналогичные характеристики для группы участков. получивших удобрений по 40 т:
Из этих данных можно определить также средний урожай всех 20 участков, независимо от количества внесенных удобрений, т. е. общую среднюю:
и меру колеблемости (дисперсию) средней урожайности групп около общей средней. Эту дисперсию называют межгрупповой ^дисперсией и обозначают б 2
где уi-средние урожайности по группам участков, отличающихся количеством внесенных удобрений; m1,m2,m3,-численности групп. Межгрупповая дисперсия для данного примера составит:
Межгрупповая дисперсия показывает рассеяние, возникающее за счет факториального признака. В данном примере У= == 0,01&247 является показателем рассеяния урожайности, возникшего за счет разности в количестве внесенных удобрений.
Однако, кроме межгрупповой дисперсии, можно вычислить и дисперсию как показатель рассеяния за счет остальных факторов (если называть так все прочие факторы, кроме удобрений). Этот показатель явится средней (взвешенной) величиной из показателей рассеяния (дисперсий) по группам участков
Это практически означает, что можно получить общую меру рассеяния (дисперсию) для всех 20 участков, если имеются сведения о средних и дисперсиях по группам участков, отличающихся количеством внесенных удобрений. Следовательно, общая дисперсия по урожайности для 20 участков составит;
Формулы для исчисления межгрупповой и средней из групповых дисперсий можно сокращенно записать так:
Расчет общей дисперсии, внутригрупповой и межгрупповой дисперсии позволяет делать некоторые выводы о мере влияния факториального признака на колеблемость признака результативного. Эта мера влияния находится при помощи корреляционного отношения:
Значит, колеблемость по урожайности участков на 78% зависит от колеблемости количества внесенных удобрений.
Линейный коэффициент корреляции
При изучении тесноты связи между двумя взаимозависимыми рядами применяется линейный коэффициент корреляции, который показывает, существует ли и насколько велика связь между этими рядами. Он может принимать значения в пределах от –1 до +1.
10.Совокупный коэффициент корреляции :,
где r – линейные коэффициенты корреляции, а подстрочные знаки показывают, между какими признаками они исчисляются.
Различные экономические явления как на микро-, так и на макроуровне не являются независимыми, а связаны между собой (цена товара и спрос на него, объём производства и прибыль фирмы и.т.д.).
Эта зависимость может быть строго функциональной (детермированной) и статистической.
Зависимость
между
и
называетсяфункциональной,
когда
каждому значению одного признака
соответствует одно единственное значение
другого признака. (Примером такой
однозначной зависимости может служить
зависимость площади круга от радиуса).
В реальной действительности чаще встречается иная связь между явлениями, когда каждому значению одного признака могут соответствовать несколько значений другого (например, связь между возрастом детей и их ростом).
Форма связи, при которой один или несколько взаимосвязанных показателей (факторов) оказывают влияние на другой показатель (результат) не однозначно, а с определенной долей вероятности, называется статистической . В частности, если при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой, то в этом случае статистическую зависимость называют корреляционной .
В зависимости от числа факторов, включаемых в модель, различают парную корреляцию (связь двух переменных) и множественную (зависимость результата от нескольких факторов).
Корреляционный
анализ
состоит в определении направления,
формы и степени
связи (тесноты) между двумя (несколькими)
случайными признаками
и.
По направлению корреляция бывает положительной (прямой) , если при увеличении значений одной переменной увеличивается значение другой, и отрицательной (обратной) , если при увеличении значений одной переменной, уменьшается значение другой.
По
форме
корреляционная связь может быть линейной
(прямолинейной)
,
когда изменение значений одного признака
приводит к равномерному изменению
другого (математически описывается
уравнением прямой
),
икриволинейной
,
когда изменение значений одного признака
приводит к неодинаковым изменениям
другого (математически она описывается
уравнениями кривых линий, например
гиперболы
,
параболы
и т.д.).
Простейшей формой зависимости между переменными является линейная зависимость. И проверка наличия такой зависимости, оценивание её индикаторов и параметров является одним из важнейших направлений эконометрики.
Существуют специальные статистические методы и, соответственно, показатели, значения которых определённым образом свидетельствуют о наличии или отсутствии линейной связи между переменными.
3.1. Коэффициент линейной корреляции
Наиболее простым, приближенным способом выявления корреляционной связи является графический .
При
небольшом объеме выборки экспериментальные
данные представляют в виде двух рядов
связанных между собой значений
и.
Если каждую пару
представить точкой на плоскости
,
то получится так называемоекорреляционное
поле (рис.1).
Если корреляционное поле представляет собой эллипс, ось которого расположена слева направо и снизу вверх (рис.1в), то можно полагать, что между признаками существует линейная положительная связь.
Если корреляционное поле вытянуто вдоль оси слева направо и сверху вниз (рис.1г), то можно полагать наличие линейной отрицательной связи.
В случае же если точки наблюдений располагаются на плоскости хаотично, т.е корреляционное поле образует круг (рис.1а), то это свидетельствует об отсутствии связи между признаками.
На рис.1б представлена строгая линейная функциональная связь.
Под
теснотой
связи между двумя величинами понимают
степень сопряженности между ними,
которая обнаруживается с изменением
изучаемых величин. Если каждому заданному
значению
соответствуют близкие друг другу
значения,
то связь считается тесной (сильной);
если же значениясильно разбросаны, то связь считается
менее тесной. При тесной корреляционной
связи корреляционное поле представляет
собой более или менее сжатый эллипс.
Количественным критерием направления и тесноты линейной связи является коэффициент линейной корреляции .
Коэффициент корреляции, определяемый по выборочным данным, называется выборочным коэффициентом корреляции. Онвычисляется по формуле:
где
,
текущие значения признаков
и;и
средние арифметические значения
признаков;
- среднее арифметическое произведений
вариант,
и
средние квадратические отклонения этих
признаков;
объём выборки.
Для вычисления коэффициента корреляции достаточно принять предположение о линейной связи между случайными признаками. Тогда вычисленный коэффициент корреляции и будет мерой этой линейной связи.
Коэффициент
линейной корреляции принимает значения
от −1 в случае строгой линейной
отрицательной связи, до +1 в случае
строгой линейной положительной связи
(т.е.
).
Близость коэффициента корреляции к 0
свидетельствует об отсутствиилинейной
связи между признаками, но не об отсутствии
связи между ними вообще.
Коэффициенту корреляции можно дать наглядную графическую интерпретацию.
Если
,
то между признаками существует линейная
функциональная зависимость вида
,
что означаетполную
корреляцию
признаков. При
,
прямая имеет положительный наклон по
отношению к оси
,
при
отрицательный (рис. 1б).
Если
,
точки
находятся в области ограниченной линией,
напоминающей эллипс. Чем ближе коэффициент
корреляции к
,
тем уже эллипс и тем теснее точки
сосредоточены вблизи прямой линии. При
говорят оположительной
корреляции
.
В этом случае значения
имеют тенденцию к возрастанию с
увеличением(рис.1в). При
говорят оботрицательной
корреляции
;
значения
имеют тенденцию к уменьшению с ростом(рис.1г).
Если
,
то точки
располагаются в области, ограниченной
окружностью. Это означает, что между
случайными признаками
иотсутствует корреляция, и такие признаки
называютсянекоррелированными
(рис.1а).
При оценке тесноты связи можно использовать следующую условную таблицу:
Теснота связи |
Величина коэффициента корреляции при наличии |
|
прямой связи (+) |
обратной связи (−) |
|
Связь отсутствует | ||
Связь слабая | ||
Связь умеренная | ||
Связь сильная | ||
Полная функциональная |
Заметим,
что в числителе формулы для выборочного
коэффициента линейной корреляции
величин
ис
тоит ихпоказатель
ковариации
:
Этот
показатель, как и коэффициент корреляции
характеризует степень линейной связи
величин
и.
Если он больше нуля, то связь между
величинами положительная, если меньше
нуля, то связь – отрицательная, равен
нулю – линейная связь отсутствует.
В
отличие от коэффициента корреляции
показатель ковариации нормирован – он
имеет размерность, и его величина зависит
от единиц измерения
и.
В статистическом анализе показатель
ковариации обычно используется, как
промежуточный элемент расчёта коэффициента
линейной корреляции. Т.о. формула расчёта
выборочного коэффициента корреляции
приобретает вид:
- Пошаговый рецепт с фото и видео Рецепт пряников медовых для рисования
- Мороженое шоколадное: рецепт и фото
- Постный чечевичный суп с грибами
- Диетические блюда из творога с указанием калорий
- Спагетти с чесноком и острым перцем
- К чему снится Снежная Лавина?
- Толкование сна мозоли в сонниках
- Гадание Таро: беременность - онлайн
- Коктейль «Куба Либре» — лучшие рецепты приготовления
- Вина из слив в домашних условиях
- Толкования Густава Миллера
- Как проходит ограничение родительских прав
- Социальные стипендии студентам Стипендия детям инвалидам в вузе
- Особенности вычета на лечение родителей
- Льготы пенсионерам по земельному налогу
- Рецепт: Песочное печенье с джемом - домашнее со сладкой начинкой
- Заправка для борща на зиму, очень вкусные рецепты из свеклы Заготовка для зеленого борща на зиму рецепт
- Ром с соком – беспроигрышный вариант Ром с апельсиновым соком название
- Как приготовить рыбу кижуч
- Слоеный салат «Печенкин Салат печенкин с куриной