4 найти площадь фигуры ограниченной линиями. Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу
У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. На уроке я говорил, что определенный интеграл – это число. А сейчас пришла пора констатировать еще один полезный факт. С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ .
То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры . Например, рассмотрим определенный интеграл . Подынтегральная функция задает на плоскости некоторую кривую (её можно всегда при желании начертить), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.
Пример 1
Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа . Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО .
При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно , с техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале .
Там же можно найти очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.
В данной задаче решение может выглядеть так.
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ):
Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:
На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:
Ответ:
У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница , обратитесь к лекции Определенный интеграл. Примеры решений .
После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.
Пример 2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , и осью
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью ?
Пример 3
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.
Решение: Выполним чертеж:
Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью
, то её площадь можно найти по формуле:
В данном случае:
Внимание! Не следует путать два типа задач:
1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.
2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.
На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.
Пример 4
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .
Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой . Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:
Значит, нижний предел интегрирования , верхний предел интегрирования .
Этим способом лучше, по возможности, не пользоваться.
Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Техника поточечного построения для различных графиков подробно рассмотрена в справкеГрафики и свойства элементарных функций . Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). И такой пример, мы тоже рассмотрим.
Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:
Повторюсь, что при поточечном построении пределы интегрирования чаще всего выясняются «автоматом».
А теперь рабочая формула: Если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то площадь соответствующей фигуры можно найти по формуле:
Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, и, грубо говоря, важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ .
В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть
Завершение решения может выглядеть так:
Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.
На отрезке , по соответствующей формуле:
Ответ:
На самом деле школьная формула для площади криволинейной трапеции в нижней полуплоскости (см. простенький пример №3) – частный случай формулы . Поскольку ось задается уравнением , а график функции расположен ниже оси , то
А сейчас пара примеров для самостоятельного решения
Пример 5
Пример 6
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .
В ходе решения задач на вычисление площади с помощью определенного интеграла иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, расчеты – правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры , именно так несколько раз лажался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:
Пример 7
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .
Сначала выполним чертеж:
Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает, что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!
Этот пример еще и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:
1) На отрезке над осью расположен график прямой ;
2) На отрезке над осью расположен график гиперболы .
Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:
Ответ:
Пример 8
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,
Представим уравнения в «школьном» виде , и выполним поточечный чертеж:
Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: .
Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое? Может быть ? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться что . Или корень. А если мы вообще неправильно построили график?
В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически.
Найдем точки пересечения прямой и параболы .
Для этого решаем уравнение:
Следовательно, .
Дальнейшее решение тривиально, главное, не запутаться в подстановках и знаках, вычисления здесь не самые простые.
На отрезке , по соответствующей формуле:
Ответ:
Ну, и в заключение урока, рассмотрим два задания сложнее.
Пример 9
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,
Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже.
Для поточечного построения чертежа необходимо знать внешний вид синусоиды (и вообще полезно знать графики всех элементарных функций ), а также некоторые значения синуса, их можно найти в тригонометрической таблице . В ряде случаев (как в этом) допускается построение схематического чертежа, на котором принципиально правильно должны быть отображены графики и пределы интегрирования.
С пределами интегрирования здесь проблем нет, они следуют прямо из условия: – «икс» изменяется от нуля до «пи». Оформляем дальнейшее решение:
На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:
(1) Как интегрируются синусы и косинусы в нечетных степенях можно посмотреть на урокеИнтегралы от тригонометрических функций . Это типовой прием, отщипываем один синус.
(2) Используем основное тригонометрическое тождество в виде
(3) Проведем замену переменной , тогда:
Новые переделы интегрирования:
У кого совсем плохи дела с заменами, прошу пройти на урок Метод замены в неопределенном интеграле . Кому не очень понятен алгоритм замены в определенном интеграле, посетите страницу Определенный интеграл. Примеры решений .
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Ключевые слова: интеграл, криволинейная трапеция, площадь фигур, ограниченных лилиями
Оборудование : маркерная доска, компьютер, мультимедиа-проектор
Тип урока : урок-лекция
Цели урока :
- воспитательные: формировать культуру умственного труда, создавать для каждого ученика ситуацию успеха, формировать положительную мотивацию к учению; развивать умение говорить и слушать других.
- развивающие: формирование самостоятельности мышления ученика по применению знаний в различных ситуациях, умения анализировать и делать выводы, развитие логики, развитие умения правильно ставить вопросы и находить на них ответы. Совершенствование формирования вычислительных, расчётных навыков, развитие мышления учащихся в ходе выполнения предложенных заданий, развитие алгоритмической культуры.
- образовательные : сформировать понятия о криволинейной трапеции, об интеграле, овладеть навыками вычисления площадей плоских фигур
Метод обучения: объяснительно-иллюстративный.
Ход урока
В предыдущих классах мы научились вычислять площади фигур, границами которых являются ломаные. В математике существуют методы, позволяющие вычислять площади фигур, ограниченных кривыми. Такие фигуры называются криволинейными трапециями, и вычисляют их площадь с помощью первообразных.
Криволинейная трапеция (слайд 1 )
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком функции , (щ.м. ), прямыми x = a и x = b и осью абсцисс
Различные виды криволинейных трапеций (слайд 2)
Рассматриваем различные виды криволинейных трапеций и замечаем: одна из прямых вырождена в точку, роль ограничивающей функции играет прямая
Площадь криволинейной трапеции (слайд 3)
Зафиксируем левый конец промежутка а, а правый х будем менять, т. е., мы двигаем правую стенку криволинейной трапеции и получаем меняющуюся фигуру. Площадь переменной криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , является первообразной F для функции f
И на отрезке [a; b ] площадь криволинейной трапеции, образованной функцией f, равна приращению первообразной этой функции:
Задание 1:
Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции: f(x) = х 2 и прямыми у = 0, х = 1, х = 2.
Решение: (по алгоритму слайд 3 )
Начертим график функции и прямые
Найдём одну из первообразных функции f(x) = х 2 :
Самопроверка по слайду
Интеграл
Рассмотрим криволинейную трапецию, заданную функцией f на отрезке [a; b ]. Разобьём этот отрезок на несколько частей. Площадь всей трапеции разобьётся на сумму площадей более мелких криволинейных трапеций. (слайд 5) . Каждую такую трапецию можно приближённо считать прямоугольником. Сумма площадей этих прямоугольников даёт приближённое представление о всей площади криволинейной трапеции. Чем мельче мы разобьём отрезок [a; b ], тем точнее вычислим площадь.
Запишем эти рассуждения в виде формул.
Разделим отрезок [a; b ] на n частей точками х 0 =а, х1,… ,хn = b. Длину k- го обозначим через хk = xk – xk-1 . Составим сумму
Геометрически эта сумма представляет собой площадь фигуры, заштрихованной на рисунке (щ.м .)
Суммы вида называются интегральными суммами для функции f . (щ.м.)
Интегральные суммы дают приближённое значение площади. Точное значение получается при помощи предельного перехода. Представим, что мы измельчаем разбиение отрезка [a; b ] так, что длины всех маленьких отрезков стремятся к нулю. Тогда площадь составленной фигуры будет приближаться к площади криволинейной трапеции. Можно сказать, что площадь криволинейной трапеции равна пределу интегральных сумм, Sк.т. (щ.м.) или интегралу, т. е.,
Определение:
Интегралом функции f (х) от a до b называется предел интегральных сумм
= (щ.м.)
Формула Ньютона- Лейбница.
Помним, что предел интегральных сумм равен площади криволинейной трапеции, значит можно записать:
Sк.т. =(щ.м.)
С другой стороны, площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле
S к. т.(щ.м.)
Сравнивая эти формулы, получим:
= (щ.м.)Это равенство называется формулой Ньютона- Лейбница.
Для удобства вычислений формулу записывают в виде:
= = (щ.м.)Задания: (щ.м.)
1. Вычислить интеграл по формуле Ньютона- Лейбница: (проверяем по слайду 5 )
2. Составить интегралы по чертежу (проверяем по слайду 6 )
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х 3 , у = 0, х = 1, х = 2. (Слайд 7 )
Нахождение площадей плоских фигур (слайд 8 )
Как найти площадь фигур, которые не являются криволинейными трапециями?
Пусть даны две функции, графики которых вы видите на слайде. (щ.м.) Необходимо найти площадь закрашенной фигуры. (щ.м.) . Фигура, о которой идёт речь, является криволинейной трапецией? А как можно найти её площадь, пользуясь свойством аддитивности площади? Рассмотреть две криволинейные трапеции и из площади одной из них вычесть площадь другой (щ.м.)
Составим алгоритм нахождения площади по анимации на слайде:
- Построить графики функций
- Спроецировать точки пересечения графиков на ось абсцисс
- Заштриховать фигуру, полученную при пересечении графиков
- Найти криволинейные трапеции, пересечение или объединение которых есть данная фигура.
- Вычислить площадь каждой из них
- Найти разность или сумму площадей
Устное задание: Как получить площадь заштрихованной фигуры (рассказать при помощи анимации, слайд 8 и 9)
Домашнее задание: Проработать конспект, №353 (а), № 364 (а).
Список литературы
- Алгебра и начала анализа: учебник для 9-11 классов вечерней (сменной) школы/ под ред. Г.Д. Глейзера. - М: Просвещение, 1983.
- Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: учебное пособие для 10-11 кл.сред.шк./ Башмаков М.И. - М: Просвещение, 1991.
- Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования/ М.И. Башмаков. - М: Академия, 2010.
- Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/ А.Н.Колмогоров. - М: Просвещение, 2010.
- Островский С.Л. Как сделать презентацию к уроку?/ C.Л. Островский. – М.: Первое сентября, 2010.
Пример1 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х + 2у – 4 = 0, у = 0, х = -3, и х = 2
Выполним построение фигуры (см. рис.) Строим прямую х + 2у – 4 = 0 по двум точкам А(4;0) и В(0;2). Выразив у через х, получим у = -0,5х + 2. По формуле (1), где f(x) = -0,5х + 2, а = -3, в = 2, находим
S = = [-0,25=11,25 кв. ед
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х – 2у + 4 = 0, х + у – 5 = 0 и у = 0.
Решение. Выполним построение фигуры.
Построим прямую х – 2у + 4 = 0: у = 0, х = - 4, А(-4; 0); х = 0, у = 2, В(0; 2).
Построим прямую х + у – 5 = 0: у = 0, х = 5, С(5; 0), х = 0, у = 5, D(0; 5).
Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений:
х = 2, у = 3; М(2; 3).
Для вычисления искомой площади разобьем треугольник АМС на два треугольника АМN и NМС, так как при изменении х от А до N площадь ограничена прямой, а при изменении х от N до С - прямой
Для треугольника АМN имеем: ; у = 0,5х + 2, т. е. f(x) = 0,5х + 2, a = - 4, b = 2.
Для треугольника NМС имеем: y = - x + 5, т. е. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Вычислив площадь каждого из треугольников и сложив результаты, находим:
кв. ед.
кв. ед.
9 + 4, 5 = 13,5 кв. ед. Проверка: = 0,5АС = 0,5 кв. ед.
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
В данном случае требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой y = x 2 , прямыми x = 2 и x = 3и осью Ох(см. рис.) По формуле (1) находим площадь криволинейной трапеции
= = 6кв. ед.
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = - x 2 + 4 и у = 0
Выполним построение фигуры. Искомая площадь заключена между параболой у = - x 2 + 4 и осью Ох.
Найдем точки пересечения параболы с осью Ох. Полагая у = 0, найдем х = Так как данная фигура симметрична относительно оси Оу, то вычислим площадь фигуры, расположенной справа от оси Оу, и полученный результат удвоим: = +4x]кв. ед. 2 = 2 кв. ед.
Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Здесь требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной верхней ветвью параболыy 2 = x, осью Ох и прямыми x = 1иx = 4 (см. рис.)
По формуле (1), где f(x) = a = 1 и b = 4 имеем = (= кв. ед.
Пример 6 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Искомая площадь ограничена полуволной синусоиды и осью Ох (см. рис.).
Имеем - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 кв. ед.
Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = - 6х, у = 0 и х = 4.
Фигура расположена под осью Ох (см. рис.).
Следовательно, её площадь находим по формуле (3)
= =
Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y = и х = 2. Кривую y = построим по точкам (см. рис.). Таким образом, площадь фигуры находим по формуле (4)
Пример 9 .
х 2 + у 2 = r 2 .
Здесь требуется вычислить площадь, ограниченную окружностью х 2 + у 2 = r 2 , т. е. площадь круга радиуса r с центром в начале координат. Найдем четвертую часть этой площади, взяв пределы интегрирования от 0
доr; имеем: 1 = = [
Следовательно, 1 =
Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у= х 2 и у = 2х
Данная фигура ограничена параболой у= х 2 и прямой у = 2х (см. рис.) Для определения точек пересечения заданных линий решим систему уравнений:х 2 – 2х = 0 х = 0 и х = 2
Используя для нахождения площади формулу (5), получим
= ,
S (G) = - ∫ a b f (x) d x для непрерывной и неположительной функции y = f (x) на отрезке [ a ; b ] .
Эти формулы применимы для решения относительно простых задач. На деле же нам чаще придется работать с более сложными фигурами. В связи с этим, данный раздел мы посвятим разбору алгоритмов вычисления площади фигур, которые ограничены функциями в явном виде, т.е. как y = f (x) или x = g (y) .
ТеоремаПусть функции y = f 1 (x) и y = f 2 (x) определены и непрерывны на отрезке [ a ; b ] , причем f 1 (x) ≤ f 2 (x) для любого значения x из [ a ; b ] . Тогда формула для вычисления площади фигуры G , ограниченной линиями x = a , x = b , y = f 1 (x) и y = f 2 (x) будет иметь вид S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Похожая формула будет применима для площади фигуры, ограниченной линиями y = c , y = d , x = g 1 (y) и x = g 2 (y) : S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Доказательство
Разберем три случая, для которых формула будет справедлива.
В первом случае, учитывая свойство аддитивности площади, сумма площадей исходной фигуры G и криволинейной трапеции G 1 равна площади фигуры G 2 . Это значит, что
Поэтому, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .
Выполнить последний переход мы можем с использованием третьего свойства определенного интеграла.
Во втором случае справедливо равенство: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x
Графическая иллюстрация будет иметь вид:
Если обе функции неположительные, получаем: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Графическая иллюстрация будет иметь вид:
Перейдем к рассмотрению общего случая, когда y = f 1 (x) и y = f 2 (x) пересекают ось O x .
Точки пересечения мы обозначим как x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Эти точки разбивают отрезок [ a ; b ] на n частей x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , где α = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Следовательно,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f (x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Последний переход мы можем осуществить с использованием пятого свойства определенного интеграла.
Проиллюстрируем на графике общий случай.
Формулу S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x можно считать доказанной.
А теперь перейдем к разбору примеров вычисления площади фигур, которые ограничены линиями y = f (x) и x = g (y) .
Рассмотрение любого из примеров мы будем начинать с построения графика. Изображение позволит нам представлять сложные фигуры как объединения более простых фигур. Если построение графиков и фигур на них вызывает у вас затруднения, можете изучить раздел об основных элементарных функциях, геометрическом преобразовании графиков функций, а также построению графиков во время исследования функции.
Пример 1
Необходимо определить площадь фигуры, которая ограничена параболой y = - x 2 + 6 x - 5 и прямыми линиями y = - 1 3 x - 1 2 , x = 1 , x = 4 .
Решение
Изобразим линии на графике в декартовой системе координат.
На отрезке [ 1 ; 4 ] график параболы y = - x 2 + 6 x - 5 расположен выше прямой y = - 1 3 x - 1 2 . В связи с этим, для получения ответа используем формулу, полученную ранее, а также способ вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 · 4 3 + 19 6 · 4 2 - 9 2 · 4 - - 1 3 · 1 3 + 19 6 · 1 2 - 9 2 · 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Ответ: S (G) = 13
Рассмотрим более сложный пример.
Пример 2
Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x + 2 , y = x , x = 7 .
Решение
В данном случае мы имеем только одну прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс. Это x = 7 . Это требует от нас найти второй предел интегрирования самостоятельно.
Построим график и нанесем на него линии, данные в условии задачи.
Имея график перед глазами, мы легко можем определить, что нижним пределом интегрирования будет абсцисса точки пересечения графика прямой y = x и полу параболы y = x + 2 . Для нахождения абсциссы используем равенства:
y = x + 2 О Д З: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ О Д З x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ О Д З
Получается, что абсциссой точки пересечения является x = 2 .
Обращаем ваше внимание на тот факт, что в общем примере на чертеже линии y = x + 2 , y = x пересекаются в точке (2 ; 2) , поэтому такие подробные вычисления могут показаться излишними. Мы привели здесь такое подробное решение только потому, что в более сложных случаях решение может быть не таким очевидным. Это значит, что координаты пересечения линий лучше всегда вычислять аналитически.
На интервале [ 2 ; 7 ] график функции y = x расположен выше графика функции y = x + 2 . Применим формулу для вычисления площади:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 · 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Ответ: S (G) = 59 6
Пример 3
Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена графиками функций y = 1 x и y = - x 2 + 4 x - 2 .
Решение
Нанесем линии на график.
Определимся с пределами интегрирования. Для этого определим координаты точек пересечения линий, приравняв выражения 1 x и - x 2 + 4 x - 2 . При условии, что x не равно нулю, равенство 1 x = - x 2 + 4 x - 2 становится эквивалентным уравнению третьей степени - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 с целыми коэффициентами. Освежить в памяти алгоритм по решению таких уравнений мы можете, обратившись к разделу «Решение кубических уравнений».
Корнем этого уравнения является х = 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 = 0 .
Разделив выражение - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 на двучлен x - 1 , получаем: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Оставшиеся корни мы можем найти из уравнения x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3 ; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
Мы нашли интервал x ∈ 1 ; 3 + 13 2 , на котором фигура G заключена выше синей и ниже красной линии. Это помогает нам определить площадь фигуры:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 - 2 · 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 · 1 2 - 2 · 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Ответ: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Пример 4
Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривыми y = x 3 , y = - log 2 x + 1 и осью абсцисс.
Решение
Нанесем все линии на график. Мы можем получить график функции y = - log 2 x + 1 из графика y = log 2 x , если расположим его симметрично относительно оси абсцисс и поднимем на одну единицу вверх. Уравнение оси абсцисс у = 0 .
Обозначим точки пересечения линий.
Как видно из рисунка, графики функций y = x 3 и y = 0 пересекаются в точке (0 ; 0) . Так получается потому, что х = 0 является единственным действительным корнем уравнения x 3 = 0 .
x = 2 является единственным корнем уравнения - log 2 x + 1 = 0 , поэтому графики функций y = - log 2 x + 1 и y = 0 пересекаются в точке (2 ; 0) .
x = 1 является единственным корнем уравнения x 3 = - log 2 x + 1 . В связи с этим графики функций y = x 3 и y = - log 2 x + 1 пересекаются в точке (1 ; 1) . Последнее утверждение может быть неочевидным, но уравнение x 3 = - log 2 x + 1 не может иметь более одного корня, так как функция y = x 3 является строго возрастающей, а функция y = - log 2 x + 1 строго убывающей.
Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.
Вариант №1
Фигуру G мы можем представить как сумму двух криволинейных трапеций, расположенных выше оси абсцисс, первая из которых располагается ниже средней линии на отрезке x ∈ 0 ; 1 , а вторая ниже красной линии на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это значит, что площадь будет равна S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Вариант №2
Фигуру G можно представить как разность двух фигур, первая из которых расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке x ∈ 0 ; 2 , а вторая между красной и синей линиями на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это позволяет нам найти площадь следующим образом:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
В этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y . Фактически, линии, которые ограничивают фигуру, можно представить в виде функций от аргумента y .
Разрешим уравнения y = x 3 и - log 2 x + 1 относительно x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Получим искомую площадь:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Ответ: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Пример 5
Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x , y = 2 3 x - 3 , y = - 1 2 x + 4 .
Решение
Красной линией нанесем на график линию, заданную функцией y = x . Синим цветом нанесем линию y = - 1 2 x + 4 , черным цветом обозначим линию y = 2 3 x - 3 .
Отметим точки пересечения.
Найдем точки пересечения графиков функций y = x и y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 О Д З: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20) 2 - 4 · 1 · 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 П р о в е р к а: x 1 = 16 = 4 , - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 · 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 · 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н и н и я ⇒ (4 ; 2) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = x и y = - 1 2 x + 4
Найдем точку пересечения графиков функций y = x и y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 О Д З: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45) 2 - 4 · 4 · 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9 , x 2 45 - 729 8 = 9 4 П р о в е р к а: x 1 = 9 = 3 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 · 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я ⇒ (9 ; 3) т о ч к а п е р е с е ч а н и я y = x и y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 · 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я
Найдем точку пересечения линий y = - 1 2 x + 4 и y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 · 6 + 4 = 2 3 · 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = - 1 2 x + 4 и y = 2 3 x - 3
Способ №1
Представим площадь искомой фигуры как сумму площадей отдельных фигур.
Тогда площадь фигуры равна:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 · 6 3 2 + 6 2 4 - 4 · 6 - 2 3 · 4 3 2 + 4 2 4 - 4 · 4 + + 2 3 · 9 3 2 - 9 2 3 + 3 · 9 - 2 3 · 6 3 2 - 6 2 3 + 3 · 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Способ №2
Площадь исходной фигуры можно представить как сумму двух других фигур.
Тогда решим уравнение линии относительно x , а только после этого применим формулу вычисления площади фигуры.
y = x ⇒ x = y 2 к р а с н а я л и н и я y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 ч е р н а я л и н и я y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 с и н я я л и н и я
Таким образом, площадь равна:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 · 2 2 - 7 4 · 2 - 7 4 · 1 2 - 7 4 · 1 + + - 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 - - 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Как видите, значения совпадают.
Ответ: S (G) = 11 3
Итоги
Для нахождения площади фигуры, которая ограничена заданными линиями нам необходимо построить линии на плоскости, найти точки их пересечения, применить формулу для нахождения площади. В данном разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся варианты задач.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Переходим к рассмотрению приложений интегрального исчисления. На этом уроке мы разберем типовую и наиболее распространенную задачу вычисления площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла . Наконец-то все ищущие смысл в высшей математике – да найдут его. Мало ли. Придется вот в жизни приближать дачный участок элементарными функциями и находить его площадь с помощью определенного интеграла.
Для успешного освоения материала, необходимо:
1) Разбираться в неопределенном интеграле хотя бы на среднем уровне. Таким образом, чайникам для начала следует ознакомиться с уроком Не.
2) Уметь применять формулу Ньютона-Лейбница и вычислять определенный интеграл. Наладить теплые дружеские отношения с определенными интегралами можно на странице Определенный интеграл. Примеры решений . Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа , поэтому актуальным вопросом будут также ваши знания и навыки построения чертежей. Как минимум, надо уметь строить прямую, параболу и гиперболу.
Начнем с криволинейной трапеции. Криволинейной трапеция - это плоская фигура, ограниченная графиком некоторой функции y = f (x ), осью OX и линиями x = a ; x = b .
Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу
У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. На уроке Определенный интеграл. Примеры решений мы говорили, что определенный интеграл – это число. А сейчас пришла пора констатировать еще один полезный факт. С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ . То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры . Рассмотрим определенный интеграл
Подынтегральная функция
задает на плоскости кривую (её при желании можно начертить), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.
Пример 1
, , , .
Это типовая формулировка задания. Важнейший момент решения – построение чертежа . Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО .
При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. С техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале Графики и свойства элементарных функций . Там же можно найти очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.
В данной задаче решение может выглядеть так.
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение y = 0 задает ось OX ):
Штриховать криволинейную трапецию не будем, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:
На отрезке [-2; 1] график функции y = x 2 + 2 расположен над осью OX , поэтому:
Ответ: .
У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница
,
обратитесь к лекции Определенный интеграл. Примеры решений . После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.
Пример 2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями xy = 4, x = 2, x = 4 и осью OX .
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью OX ?
Пример 3
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = e - x , x = 1 и координатными осями.
Решение: Выполним чертеж:
Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью OX , то её площадь можно найти по формуле:
В данном случае:
.
Внимание! Не следует путать два типа задач:
1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.
2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.
На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.
Пример 4
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = 2x – x 2 , y = -x .
Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. При построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы y = 2x – x 2 и прямой y = -x . Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:
Значит, нижний предел интегрирования a = 0, верхний предел интегрирования b = 3. Часто выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:
Повторимся, что при поточечном построении пределы интегрирования чаще всего выясняются «автоматоматически».
А теперь рабочая формула:
Если на отрезке [a ; b ] некоторая непрерывная функция f (x ) больше либо равна некоторой непрерывной функции g (x ), то площадь соответствующей фигуры можно найти по формуле:
Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ .
В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из 2x – x 2 необходимо вычесть –x .
Завершение решения может выглядеть так:
Искомая фигура ограничена параболой y = 2x – x 2 сверху и прямой y = -x снизу.
На отрезке 2x – x 2 ≥ -x . По соответствующей формуле:
Ответ: .
На самом деле, школьная формула для площади криволинейной трапеции в нижней полуплоскости (см. пример №3) – частный случай формулы
.
Поскольку ось OX задается уравнением y = 0, а график функции g (x ) расположен ниже оси OX , то
.
А сейчас пара примеров для самостоятельного решения
Пример 5
Пример 6
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
В ходе решения задач на вычисление площади с помощью определенного интеграла иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, расчеты – правильно, но, по невнимательности,… найдена площадь не той фигуры.
Пример 7
Сначала выполним чертеж:
Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике, по невнимательности, нередко решают, что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!
Этот пример еще и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:
1) На отрезке [-1; 1] над осью OX расположен график прямой y = x +1;
2) На отрезке над осью OX расположен график гиперболы y = (2/x ).
Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:
Ответ:
Пример 8
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Представим уравнения в «школьном» виде
и выполним поточечный чертеж:
Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: b = 1.
Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое?
Может быть, a =(-1/3)? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться что a =(-1/4). А если мы вообще неправильно построили график?
В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически.
Найдем точки пересечения графиков
Для этого решаем уравнение:
.
Следовательно, a =(-1/3).
Дальнейшее решение тривиально. Главное, не запутаться в подстановках и знаках. Вычисления здесь не самые простые. На отрезке
, ,
по соответствующей формуле:
Ответ:
В заключение урока, рассмотрим два задания сложнее.
Пример 9
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже.
Для поточечного построения чертежа необходимо знать внешний вид синусоиды. Вообще, полезно знать графики всех элементарных функций, а также некоторые значения синуса. Их можно найти в таблице значений тригонометрических функций . В ряде случаев (например, в этом) допускается построение схематического чертежа, на котором принципиально правильно должны быть отображены графики и пределы интегрирования.
С пределами интегрирования здесь проблем нет, они следуют прямо из условия:
– «икс» изменяется от нуля до «пи». Оформляем дальнейшее решение:
На отрезке график функции y = sin 3 x расположен над осью OX , поэтому:
(1) Как интегрируются синусы и косинусы в нечетных степенях, можно посмотреть на уроке Интегралы от тригонометрических функций . Отщипываем один синус.
(2) Используем основное тригонометрическое тождество в виде
(3) Проведем замену переменной t = cos x , тогда: расположен над осью , поэтому:
.
.
Примечание: обратите внимание, как берется интеграл от тангенса в кубе, здесь использовано следствие основного тригонометрического тождества
.
- Сонник: книги, книги на полках, старые книги, писать книгу
- К чему снится ива по соннику
- Биография, интересные факты
- К железам какой секреции относится поджелудочная железа
- Где находится кашмир. Кашмир — другая Индия. Территориальная структура Кашмира
- Родился александр александрович алябьев Сообщение о алябьев александр александрович
- Шпаргалка: Образование древнерусского государства
- Формирование древнерусского государства
- Заговоры от врагов и недоброжелателей Магия заставить замолчать завязать язык
- алоэ – амулет от всех бед на подоконнике
- Заговоры на красоту и привлекательность Заговор для красоты на мед и алой
- Национальный транс: Культура и магия гаитянского вуду Гаитянский культ 4 буквы сканворд
- Каша из топора кратко. Сказка Каша из топора. Русская народная сказка. Хитрая наука — русская народная сказка
- Яблоко от яблони недалеко падает
- Михаил Зощенко. Самое главное. Самое главное, зощенко для детей Михаил зощенко самое главное
- Великая дивеевская тайна
- Последняя тайна царицы тамары Грузинская царица тамара
- Владыка петр. Петр Воронежский, сщмч. «Что это вы так трудитесь, владыко святый?»
- Апостол иуда искариот - святые - история - каталог статей - любовь безусловная Критика неканонического восприятия Иуды Искариота
- Когнитивно-поведенческая психотерапия Бек когнитивная терапия и эмоциональные расстройства