Каким свойством обладает точка координатной плоскости. Декартовы координаты точек плоскости

Математика - наука довольно сложная. Изучая ее, приходится не только решать примеры и задачи, но и работать с различными фигурами, и даже плоскостями. Одной из наиболее используемых в математике является система координат на плоскости. Правильной работе с ней детей учат не один год. Поэтому важно знать, что это такое и как правильно с ней работать.

Давайте же разберемся, что представляет собой данная система, какие действия можно выполнять с ее помощью, а также узнаем ее основные характеристики и особенности.

Определение понятия

Координатная плоскость - это плоскость, на которой задана определенная система координат. Такая плоскость задается двумя прямыми, пересекающимися под прямым углом. В точке пересечения этих прямых находится начало координат. Каждая точка на координатной плоскости задается парой чисел, которые называют координатами.

В школьном курсе математики школьникам приходится довольно тесно работать с системой координат - строить на ней фигуры и точки, определять, какой плоскости принадлежит та или иная координата, а также определять координаты точки и записывать или называть их. Поэтому поговорим подробнее обо всех особенностях координат. Но прежде коснемся истории создания, а затем уже поговорим о том, как работать на координатной плоскости.

Историческая справка

Идеи о создании системы координат были еще во времена Птоломея. Уже тогда астрономы и математики думали о том, как научиться задавать положение точки на плоскости. К сожалению, в то время еще не было известной нам системы координат, и ученым приходилось пользоваться другими системами.

Изначально они задавали точки с помощью указания широты и долготы. Долгое время это был один из наиболее используемых способов нанесения на карту той или иной информации. Но в 1637 году Рене Декарт создал собственную систему координат, названную впоследствии в честь "декартовой".

Уже в конце XVII в. понятие «координатная плоскость» стало широко использоваться в мире математики. Несмотря на то что с момента создания данной системы прошло уже несколько веков, она до сих пор широко используется в математике и даже в жизни.

Примеры координатной плоскости

Прежде чем говорить о теории, приведем несколько наглядных примеров координатной плоскости, чтобы вы смогли представить ее себе. В первую очередь координатная система используется в шахматах. На доске каждый квадрат имеет свои координаты - одну координату буквенную, вторую - цифровую. С ее помощью можно определить положение той или иной фигуры на доске.

Вторым наиболее ярким примером может служить любимая многими игра «Морской бой». Вспомните, как, играя, вы называете координату, например, В3, таким образом указывая, куда именно целитесь. При этом, расставляя корабли, вы задаете точки на координатной плоскости.

Данная система координат широко применяется не только в математике, логических играх, но и в военном деле, астрономии, физике и многих других науках.

Оси координат

Как уже говорилось, в системе координат выделяют две оси. Поговорим немного о них, так как они имеют немалое значение.

Первая ось - абсцисс - горизонтальная. Она обозначается как (Ox ). Вторая ось - ординат, которая проходит вертикально через точку отсчета и обозначается как (Oy ). Именно эти две оси образуют систему координат, разбивая плоскость на четыре четверти. Начало отсчета находится в точке пересечения этих двух осей и принимает значение 0 . Только в случае если плоскость образована двумя пересекающимися перпендикулярно осями, имеющими точку отсчета, это координатная плоскость.

Также отметим, что каждая из осей имеет свое направление. Обычно при построении системы координат принято указывать направление оси в виде стрелочки. Кроме того, при построении координатной плоскости каждая из осей подписывается.

Четверти

Теперь скажем пару слов о таком понятии, как четверти координатной плоскости. Плоскость разбивается двумя осями на четыре четверти. Каждая из них имеет свой номер, при этом нумерация плоскостей ведется против часовой стрелки.

Каждая из четвертей имеет свои особенности. Так, в первой четверти абсцисса и ордината положительная, во второй четверти абсцисса отрицательная, ордината - положительная, в третьей и абсцисса, и ордината отрицательные, в четвертой же положительной является абсцисса, а отрицательной - ордината.

Запомнив эти особенности, можно с легкостью определить, к какой четверти относится та или иная точка. Кроме того, эта информация может пригодиться вам и в том случае, если придется делать вычисления, используя декартову систему.

Работа с координатной плоскостью

Когда мы разобрались с понятием плоскости и поговорили о ее четвертях, можно перейти к такой проблеме, как работа с данной системой, а также поговорить о том, как наносить на нее точки, координаты фигур. На координатной плоскости сделать это не так тяжело, как может показаться на первый взгляд.

В первую очередь строится сама система, на нее наносятся все важные обозначения. Затем уже идет работа непосредственно с точками или фигурами. При этом даже при построении фигур сначала на плоскость наносятся точки, а затем уже прорисовываются фигуры.

Правила построения плоскости

Если вы решили начать отмечать на бумаге фигуры и точки, вам понадобится координатная плоскость. Координаты точек наносятся именно на нее. Для того чтобы построить координатную плоскость, понадобится только линейка и ручка или карандаш. Сначала рисуется горизонтальная ось абсцисс, затем вертикальная - ординат. При этом важно помнить, что оси пересекаются под прямым углом.

Следующим обязательным пунктом является нанесение разметки. На каждой из осей в обоих направлениях отмечаются и подписываются единицы-отрезки. Это делается для того, чтобы затем можно было работать с плоскостью с максимальным удобством.

Отмечаем точку

Теперь поговорим о том, как нанести координаты точек на координатной плоскости. Это основа, которую следует знать, чтобы успешно размещать на плоскости разнообразные фигуры, и даже отмечать уравнения.

При построении точек следует помнить, как правильно записываются их координаты. Так, обычно задавая точку, в скобках пишут две цифры. Первая цифра обозначает координату точки по оси абсцисс, вторая - по оси ординат.

Строить точку следует таким образом. Сначала отметить на оси Ox заданную точку, затем отметить точку на оси Oy . Далее провести воображаемые линии от данных обозначений и найти место их пересечения - это и будет заданная точка.

Вам останется только отметить ее и подписать. Как видите, все довольно просто и не требует особых навыков.

Размещаем фигуру

Теперь перейдем к такому вопросу, как построение фигур на координатной плоскости. Для того чтобы построить на координатной плоскости любую фигуру, следует знать, как размещать на ней точки. Если вы умеете это делать, то разместить фигуру на плоскости не так уж и сложно.

В первую очередь вам понадобятся координаты точек фигуры. Именно по ним мы и будем наносить на нашу систему координат выбранные вами Рассмотрим нанесение прямоугольника, треугольника и окружности.

Начнем с прямоугольника. Наносить его довольно просто. Сначала на плоскость наносятся четыре точки, обозначающие углы прямоугольника. Затем все точки последовательно соединяются между собой.

Нанесение треугольника ничем не отличается. Единственное - углов у него три, а значит, на плоскость наносятся три точки, обозначающие его вершины.

Касательно окружности тут следует знать координаты двух точек. Первая точка - центр окружности, вторая - точка, обозначающая ее радиус. Эти две точки наносятся на плоскость. Затем берется циркуль, измеряется расстояние между двумя точками. Острие циркуля ставится в точку, обозначающую центр, и описывается круг.

Как видите, тут также нет ничего сложного, главное, чтобы под рукой всегда были линейка и циркуль.

Теперь вы знаете, как наносить координаты фигур. На координатной плоскости это делать не так уж и сложно, как может показаться на первый взгляд.

Выводы

Итак, мы рассмотрели с вами одно из наиболее интересных и базовых для математики понятий, с которым приходится сталкиваться каждому школьнику.

Мы с вами выяснили, что координатная плоскость - это плоскость, образованная пересечением двух осей. С ее помощью можно задавать координаты точек, наносить на нее фигуры. Плоскость разделена на четверти, каждая из которых имеет свои особенности.

Основной навык, который следует выработать при работе с координатной плоскостью, - умение правильно наносить на нее заданные точки. Для этого следует знать правильное расположение осей, особенности четвертей, а также правила, по которым задаются координаты точек.

Надеемся, что изложенная нами информация была доступна и понятна, а также была полезна для вас и помогла лучше разобраться в данной теме.

§ 1 Система координат: определение и способ построения

В этом уроке познакомимся с понятиями «система координат», «координатная плоскость», «оси координат», научимся строить точки на плоскости по координатам.

Возьмем координатную прямую х с началом координат точкой О, положительным направлением и единичным отрезком.

Через начало координат точку О координатной прямой х проведем еще одну координатную прямую y, перпендикулярную х, положительное направление зададим вверх, единичный отрезок такой же. Таким образом, мы построили систему координат.

Дадим определение:

Две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом координат каждой из них, образуют систему координат.

§ 2 Координатная ось и координатная плоскость

Прямые, которые образуют систему координат, называют координатными осями, каждая из которых имеет свое название: координатная прямая х - ось абсцисс, координатная прямая y - ось ординат.

Плоскость, на которой выбрана система координат, называется координатной плоскостью.

Описанная система координат называется прямоугольной. Часто ее называют декартовой системой координат в честь французского философа и математика Рене Декарта.

Каждая точка координатной плоскости имеет две координаты, которые можно определить, опустив из точки перпендикуляры на оси координат. Координаты точки на плоскости - это пара чисел, из которых первое число - абсцисса, второе число - ордината. Абсциссу показывает перпендикуляр к оси х, ординату - перпендикуляр к оси y.

Отметим на координатной плоскости точку А, проведем из неё перпендикуляры к осям системы координат.

По перпендикуляру к оси абсцисс (ось х) определяем абсциссу точки А, она равна 4, ординату точки А - по перпендикуляру к оси ординат (ось у) - это 3. Координаты нашей точки 4 и 3. А (4;3). Таким образом, координаты можно найти для любой точки координатной плоскости.

§ 3 Построение точки на плоскости

А как построить точку на плоскости с заданными координатами, т.е. по координатам точки плоскости определить её положение? В данном случае действия выполняем в обратном порядке. На координатных осях находим точки соответствующие заданным координатам, через которые проводим прямые, перпендикулярные осям х и y. Точка пересечения перпендикуляров и будет искомой, т.е. точкой с заданными координатами.

Выполним задание: построить на координатной плоскости точку М (2;-3).

Для этого на оси абсцисс находим точку с координатой 2, проводим через данную точку прямую перпендикулярную оси х. На оси ординат найдем точку с координатой -3, через нее проведем прямую перпендикулярную оси y. Точка пересечения перпендикулярных прямых и будет заданной точкой М.

А теперь рассмотрим несколько частных случаев.

Отметим на координатной плоскости точки А (0; 2), В (0; -3), С (0; 4).

Абсциссы данных точек равны 0. На рисунке видно, что все точки находятся на оси ординат.

Следовательно, точки, абсциссы которых равны нулю, лежат на оси ординат.

Поменяем координаты данных точек местами.

Получится А (2;0), В (-3;0) С (4; 0). В этом случае все ординаты равны 0 и точки находятся на оси абсцисс.

Значит, точки, ординаты которых равны нулю, лежат на оси абсцисс.

Разберем еще два случая.

На координатной плоскости отметим точки М (3; 2), N (3; -1), Р (3; -4).

Легко заметить, что все абсциссы точек одинаковые. Если эти точки соединить, получится прямая, параллельная оси ординат и перпендикулярная оси абсцисс.

Напрашивается вывод: точки, имеющие одну и ту же абсциссу, лежат на одной прямой, которая параллельна оси ординат и перпендикулярна оси абсцисс.

Если поменять координаты точек М, N, Р местами, то получится М (2; 3), N (-1; 3), Р (-4; 3). Одинаковыми станут ординаты точек. В данном случае, если эти точки соединить, получится прямая параллельная оси абсцисс и перпендикулярная оси ординат.

Таким образом, точки, имеющие одну и ту же ординату, лежат на одной прямой параллельной оси абсцисс и перпендикулярной оси ординат.

В этом уроке Вы познакомились с понятиями «система координат», «координатная плоскость», «оси координат - ось абсцисс и ось ординат». Узнали, как найти координаты точки на координатной плоскости и научились строить точки на плоскости по ее координатам.

Список использованной литературы:

1. Математика. 6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича//автор-составитель Л.А. Топилина. – Мнемозина, 2009.
2. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович.- М.: Мнемозина, 2013.
3. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др./по редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина; Рос.акад.наук, Рос.акад.образования. - М.: «Просвещение», 2010
4. Справочник по математике - http://lyudmilanik.com.ua
5. Справочник для учащихся в средней школе http://shkolo.ru

На плоскости. Пусть одна будет x, другая – y. И пусть эти прямые будут взаимно перпендикулярны (то есть пересекаются под прямым углом). Причем точка их пересечения будет началом координат для обеих прямых, а единичный отрезок одинаков (рис. 1).

Таким образом, мы получили прямоугольную систему координат , а наша плоскость стала координатной. Прямые x и y называют осями координат. Причем, ось x – осью абсцисс, а ось y – осью ординат. Обозначается подобная плоскость обычно по названию осей и точке отсчета – xOy. Прямоугольную систему координат также называют декартовой системой координат , так как впервые ее начал активно использовать французский математик и философ - Рене Декарт.

Прямоугольные углы, образованные прямыми x и y, называют координатными углами . Каждый угол имеет свой номер как показано на рис. 2.

Итак, когда мы говорили про координатную прямую у всякой точки этой прямой была одна координата. Теперь, когда идет речь о координатной плоскости, то у каждой точки этой плоскости уже будут две координаты. Одна соответствует прямой x (эту координату называют абсциссой ), другая соответствует прямой y (эту координату называют ординатой ). Записывается это таким образом: M(x;y), где x – абсцисса, а y – ордината. Читается как: «Точка M с координатами x, y».

Как определить координаты точки на плоскости?
Теперь мы знаем, что у каждой точки на плоскости есть две координаты. Для того чтобы узнать ее координаты нам достаточно через эту точку провести две прямые, перпендикулярные осям координат. Точки пересечения этих прямых с координатными осями и будут искомыми координатами. Так, например, на рис. 3 мы определили, что координатами точки M являются 5 и 3.

Как построить точку на плоскости по ее координатам?
Бывает и так, что мы уже знаем координаты точки на плоскости. И нам нужно найти ее расположение. Допустим у нас координаты точки (-2;5). То есть, абцисса равна -2, а ордината равна 5. Возьмем на прямой x (оси абсцисс) точку с координатой -2 и проведем через нее прямую a, параллельную оси y. Заметим, что любая точка на этой прямой будет иметь абсциссу равную -2. Теперь найдем на прямой y (оси ординат) точку с координатой 5 и проведем через нее прямую b, параллельную оси x. Заметим, что любая точка на этой прямой будет иметь ординату равную 5. На пересечении прямых a и b как раз и будет находиться точка с координатами (-2;5). Обозначим ее буквой P (рис. 4).

Добавим также, что прямая a, все точки которой имеют абсциссу -2, задается уравнением
x = -2 или что x = -2 – уравнение прямой a. Можно для удобства говорить не «прямая, которая задается уравнением x = -2», а просто «прямая x = -2». Действительно, для любой точки прямой a справедливо равенство x = -2. А прямая b, все точки которой имеют ординату 5, в свою очередь задается уравнением y = 5 или что y = 5 – уравнение прямой b.

Основные сведения о координатной плоскости

Каждый объект (например, дом, место в зрительном зале, точка на карте) имеет свой упорядоченный адрес (координаты), который имеет числовое или буквенное обозначение.

Математики разработали модель, которая позволяет определять положение объекта и называется координатной плоскостью .

Чтобы построить координатную плоскость нужно провести $2$ перпендикулярные прямые , на конце которых указываются с помощью стрелок направления «вправо» и «вверх». На прямые наносятся деления, а точка пересечения прямых является нулевой отметкой для обеих шкал.

Определение 1

Горизонтальная прямая называется осью абсцисс и обозначается х, а вертикальная прямая называется осью ординат и обозначается у.

Две перпендикулярные оси х и у с делениями составляют прямоугольную , или декартовую , систему координат , которую предложил французский философ и математик Рене Декарт.

Координатная плоскость

Координаты точки

Точка на координатной плоскости определяется двумя координатами.

Чтобы определить координаты точки $A$ на координатной плоскости нужно через нее провести прямые, которые будут параллельны координатным осям (на рисунке выделены пунктирной линией). Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$ точки $A$, а пересечение с осью ординат дает координату у точки $A$. При записи координат точки сначала записывается координата $x$, а затем координата $y$.

Точка $A$ на рисунке имеет координаты $(3; 2)$, а точка $B (–1; 4)$.

Для нанесения точки на координатную плоскость действуют в обратном порядке.

Построение точки по заданным координатам

Пример 1

На координатной плоскости построить точки $A(2;5)$ и $B(3; –1).$

Решение .

Построение точки $A$:

• отложим число $2$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
• на оси у отложим число $5$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $A$ с координатами $(2; 5)$.

Построение точки $B$:

• отложим на оси $x$ число $3$ и проведем перпендикулярную оси х прямую;
• на оси $y$ отложим число $(–1)$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $B$ с координатами $(3; –1)$.

Пример 2

Построить на координатной плоскости точки с заданными координатами $C (3; 0)$ и $D(0; 2)$.

Решение .

Построение точки $C$:

• отложим число $3$ на оси $x$;
• координата $y$ равна нулю, значит точка $C$ будет лежать на оси $x$.

Построение точки $D$:

• отложим число $2$ на оси $y$;
• координата $x$ равна нулю, значит, точка $D$ будет лежать на оси $y$.

Замечание 1

Следовательно, при координате $x=0$ точка будет лежать на оси $y$, а при координате $y=0$ точка будет лежать на оси $x$.

Пример 3

Определить координаты точек A, B, C, D.$

Решение .

Определим координаты точки $A$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Таким образом, получаем, что точка $A (1; 3).$

Определим координаты точки $B$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Получаем, что точка $B (–2; 4).$

Определим координаты точки $C$. Т.к. она расположена на оси $y$, то координата $x$ этой точки равна нулю. Координата у равна $–2$. Таким образом, точка $C (0; –2)$.

Определим координаты точки $D$. Т.к. она находится на оси $x$, то координата $y$ равна нулю. Координата $x$ этой точки равна $–5$. Таким образом, точка $D (5; 0).$

Пример 4

Построить точки $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$

Решение .

Построение точки $E$:

• отложим число $(–3)$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
• на оси $y$ отложим число $(–2)$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
• на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $E (–3; –2).$

Построение точки $F$:

• координата $y=0$, значит, точка лежит на оси $x$;
• отложим на оси $x$ число $5$ и получим точку $F(5; 0).$

Построение точки $G$:

• отложим число $3$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $x$;
• на оси $y$ отложим число $4$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
• на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $G(3; 4).$

Построение точки $H$:

• координата $x=0$, значит, точка лежит на оси $y$;
• отложим на оси $y$ число $(–4)$ и получим точку $H(0; –4).$

Построение точки $O$:

• обе координаты точки равны нулю, значит, точка лежит одновременно и на оси $y$, и на оси $x$, следовательно является точкой пересечения обеих осей (началом координат).