Монотонность функции. Экстремумы
Монотонная функция – это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.
Функция возрастает , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y тоже возрастает, то это возрастающая функция.
Функция убывает , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y убывает, то это убывающая функция.
Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.
Функция постоянна (немонотонна) , если она не убывает и не возрастает.
Теорема (необходимый признак монотонности):
1. Если дифференцируемая функция f(x) в некотором интервале возрастает, то ее производная на этом интервале неотрицательна, т.е .
2. Если дифференцируемая функция f(x) в некотором интервале убывает, то ее производная на этом интервале неположительна, .
3. Если функция не изменяется, то ее производная равна нулю, т.е. .
Теорема (достаточный признак монотонности):
Пусть f(x) непрерывна на интервале (a;b) и имеет производную во всех точках, тогда:
1. Если внутри (a;b) положительна, то f(x) возрастает.
2. Если внутри (a;b) отрицательна, то f(x) убывает.
3. Если , то f(x) постоянна.
Исследование функции на экстремумы.
Экстремум - максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум - точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум - точкой максимума.
1. Найдите область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна.
2. Найдите производную .
3. Найдите критические точки, т.е. точки в которых производная функции равна нулю или не существует.
4. В каждом из интервалов на которые область определения разбивается критическими точками, определить знак производной и характер изменения функции.
5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точной максимума, минимума или не является точкой экстремума.
Записать результат исследования функции промежутки монотонности и экстремума.
Наибольшее и наименьшее значение функции.
Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке.
1. Найти производную .
2. Найти на данном отрезке критические точки.
3. Вычислить значение функции в критических точках и на концах отрезка.
4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее.
Выпуклость и вогнутость функции.
Дуга называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более, чем в двух точках.
Линии, образуемые выпуклостью вверх, называются выпуклыми, а образуемые выпуклостью вниз - вогнутыми.
Геометрически ясно, что выпуклая дуга лежит под любой своей касательной, а вогнутая дуга – над касательной.
Точки перегиба функции.
Точкой перегиба называется такая точка линии, которая отделяет выпуклую дугу от вогнутой.
В точке перегиба касательная пересекает линию, в окрестности этой точки линия лежит по обе стороны от касательной.
Интервалу убывания первой производной соответствует участок выпуклости графика функции, а интервалу возрастания – участок вогнутости.
Теорема (о точках перегиба):
Если вторая производная всюду в интервале отрицательна, то дуга линии y = f(x), соответствующая этому интервалу, выпуклая. Если вторая производная всюду в интервале положительна, то дуга линии y = f(x), соответствующая этому интервалу, вогнутая.
Необходимый признак точки перегиба:
Если – абсцисса точки перегиба, то либо , либо не существует.
Достаточный признак точки перегиба:
Точка есть точка перегиба линии y = f(x), если , а ;
При слева от нее лежит участок выпуклости, справа – участок вогнутости, а при слева лежит участок вогнутости, а справа – выпуклости.
Асимптоты.
Определение.
Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Виды асимптот:
1. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одна из прямых значений 
или 
равно или .
Монотонность функции. Экстремумы
Теорема 5.5.(необходимое условие монотонности функции)
Если функция f (x а ; b ), то f ¢(x )³ 0 "х Î(а ; b ). Если функция f (x ) дифференцируема и не возрастает на (а ; b ), то f ¢(x ) £ 0 "х Î(а ; b )
Доказательство : Пусть f (x ) дифференцируема и не убывает на (а ; b ), т.е. "х 1 , х 2 Î(а ; b ): х 1 < х 2 выполняется f (x 1) £ f (x 2). Возьмем любую точку х 0 Î(а ; b ). В силу дифференцируемости функции f (x ) существует
Если Dх > 0, то х 0 +Dх > х 0 и f (x 0 + Dх ) ³ f (x 0), откуда Dу ³ 0, значит, ³ 0.
Если Dх
< 0, то х
0 +Dх
< х
0 и f
(x
0 + Dх
) £ f
(x
0), откуда Dу
£0, но тогда ³ 0. Таким образом, 
(согласно одной из теорем о предельном переходе в неравенстве).
Аналогично доказывается второе утверждение теоремы. Проведите это доказательство самостоятельно.
Теорема 5.6.(достаточное условие монотонности)
Если f ¢(x ) > 0 на (а , b ), то f (x ) строго возрастает на этом интервале. Если f ¢(x ) < 0 на (а , b ) то f (x ) строго убывает на этом интервале.
Доказательство : 1) Пусть f ¢(x ) > 0 на (а , b ). Возьмем "х 1 , х 2 Î(а ; b ): х 1 < х 2 . По теореме Лагранжа имеем
),
где х 0 Î(х 1 , х 2). Т.к. f ¢(x 0) > 0, а х 1 < х 2 , т.е. х 2 – х 1 > 0, то f (x 2) – f (x 1) > 0, откуда f (x 2) > f (x 1) – функция возрастает. ЧТД
2) Случай убывания функции доказать самостоятельно.
Теоремы 5.5 и 5.6. нельзя объединить в одно необходимое и достаточное условие. Действительно, условие f ¢(x ) > 0 на (а , b ) не является необходимым условием возрастания функции f (x ), т.к., например, для строго возрастающей функции f (x ) = х 3 выполняется условие f ¢(x ) = 3х 2 ³ 0.
С геометрической точки зрения теорема 5.6 утверждает, что если касательные к графику функции во всех точках интервала образуют острый угол с осью ОХ, то функции возрастающая. Убыванию функции соответствует тупой угол наклона касательной к оси ОХ (рис. 3).
Определение 5.1.
Точка х 0 ÎD(f ) называется точкой минимума функции f (x f (x ) ³ f (x 0). Значение f (x 0) называется минимумом функции.
Точка х 0 ÎD(f ) называется точкой максимума функции f (x ), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство f (x ) £ f (x 0). Значение f (x 0) называетсямаксимумом функции.
Точки минимума и максимума называются точками экстремума функции. Значения функции в этих точках называются экстремумами функции.
Если при х
¹ х
0 из окрестности точки х
0 выполняется строгое неравенство f
(x
) > f
(x
0) или f
(x
) < f
(x
0), то в этом случае говорят о строгом
экстремуме в точке х
0 , в противном случае – о нестрогом.
На рисунке в точках А и D строгий максимум, в точках В и С нестрогий минимум.
Может так случиться, что некоторый максимум функции f (x ) окажется меньше ее минимума. Это не противоречит определению, т.к. в нем говорится об окрестности точки экстремума, т.е. о близлежащих к точке экстремума точках области определения функции. Поэтому для точек максимума и минимума используется термин «локальный» экстремум, т.е. связанный с определенным местом.
Теорема 5.7. (необходимое условие экстремума )
Если в точке х 0 функция имеет экстремум, то первая производная функции в этой точке либо равна нулю, либо не существует.
Доказательство : Пусть, для определенности, х 0 – точка максимума. Тогда для всех х из некоторой окрестности точки х 0 выполняется неравенство
Dу = f (x ) – f (x 0) < 0
Рассмотрим односторонние производные функции в точке х
0 . В силу условия Dу
< 0 
может быть либо конечным, отрицательным числом, либо равен -¥, либо равен 0. Аналогично, 
либо конечное положительное число, либо +¥, либо 0. Т.е.
, 
Отсюда следует, что f ¢(x 0) либо не существует (т.к. f ¢(x 0 +0) ¹ f ¢(x 0 – 0) или бесконечные), либо f ¢(x 0) = 0.
Геометрически теорема 5.7 утверждает, что в точке экстремума касательная к графику функции либо параллельна оси ОХ, либо параллельна ОУ, либо ее вообще нельзя провести (рис. 4).
 |
Таким образом, из теоремы следует, что точки экстремума следует искать среди точек, в которых производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками (первого рода). Точка экстремума обязательно является критической точкой, но не всякая критическая точка может быть точкой экстремума. Например, для функции у = х 3 точка х = 0 – критическая, т.к.
у ¢ (0) = 0,
но точкой экстремума она не является (вспомните график этой функции).
Теорема 5.8 . (достаточное условие экстремума)
Пусть х
0 – критическая точка непрерывной и дифференцируемой в окрестности точки х 0 функции f
(x
) . Если при х
Доказательство :
Пусть при х
Аналогично доказывается второе утверждение, касающееся точки минимума.
Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции y= f (x ) можно, придерживаясь следующего алгоритма:
1) Найти область определения функции.
2) Найти производную f¢ (x ) заданной функции.
3) Найти критические точки первого рода (точки возможного экстремума) из условия f¢ (x ) = 0 или f¢ (x ) не существует, х ÎD (f ).
4) Разбить область определения D (f ) функции критическими точками на интервалы (внутри этих интервалов производная функции сохраняет знак).
5) Определить знак производной на каждом из полученных интервалов. На тех интервалах, где f¢ (x ) > 0, функция возрастает, а там, где f¢ (x )< 0 – функция убывает.
6) Если при переходе через критическую точку слева направо:
· f¢ (x ) меняет знак с « + » на «–» , то эта точка есть точка максимума функции;
· f¢ (x ) меняет знак с « – » на « + » , то эта точка есть точка минимума функции;
· f¢ (x ) не меняет знак, то в этой точке экстремума функции нет.
Производная помогает также при исследовании функции на возрастание и убывание. Напомним вначале соответствующее определение.
Определение.
Пусть функция определена на промежутке . Говорят, что она возрастает (убывает) на промежутке , если 
таких, что .
Теорема. Если функция дифференцируема на интервале и , то возрастает (убывает) на интервале .
Пусть производная функции непрерывна на промежутке . Для исследования ее на возрастание и убывание обычно придерживаются следующего плана:
1) Найти точки из , где . Эти точки называются стационарными.
2) Во всех промежутках, на которые разбивают стационарные точки, определить знак . Для этого достаточно определить знак в одной точке каждого промежутка (знак внутри каждого промежутка не меняется, поскольку в противном случае внутри этого промежутка по теореме Больцано-Коши должен быть нуль производной, что невозможно). Если внутри промежутка , то здесь согласно теореме возрастает. Если , то убывает.
Определение. Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.
Пример . Исследовать на возрастание и убывание функцию
Данная функция дифференцируема на всей числовой прямой.
1) 
. Найдем стационарные точки: 
. Корнями уравнения являются числа , .
2) Точки , разбивают числовую прямую на три интервала: , , .
На первом интервале возьмем .
Следовательно, на промежутке возрастает. На промежутке возьмем , 
. Поэтому убывает. На интервале возьмем , . Поэтому на интервале возрастает.
Определение.
Пусть функция определена в . Точка называется точкой локального максимума (минимума), если cуществует 
такая, что
Если неравенства (1) строгие при , то точка называется точкой строгого локального максимума (минимума). Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.
Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция дифференцируема в точке и является точкой экстремума, то
Доказательство теоремы не сложно получить из определения производной.
Замечание. Из теоремы следует, что точки экстремума функции нужно искать среди стационарных точек и точек, где производная не существует. Одно из достаточных условий экстремума непосредственно вытекает из следующей теоремы.
Замечание. Необходимое условие не является достаточным. Например, для функции имеем , но точка не является экстремумом, поскольку функция возрастает на всей числовой прямой.
Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция непрерывна в точке и дифференцируема в . Тогда:
а) если производная при переходе через точку меняет знак с плюса на минус, то точка является точкой локального максимума;
б) если производная при переходе через точку меняет знак с минуса на плюс, то точка является точкой локального минимума функции .
Заметим, что из теоремы следует, что в предыдущем примере точка является точкой локального максимума, а точка является точкой локального минимума функции .
Часто при решении различных задач приходится находить наибольшее и наименьшее значения функции на некотором множестве .
Рассмотрим как решается эта задача сначала для случая, когда это отрезок . Пусть функция непрерывна на отрезке и дифферецируема на интервале за исключением, быть может, конечного числа точек. Тогда, согласно теореме Вейерштрасса функция достигает на отрезке наибольшее и наименьшее значения.
Из приведенных теорем вытекает следующий план отыскания наибольшего и наименьшего значений функции .
1) Найти производную и нули производной из .
2) Найти значения
а) в нулях производной из ;
б) на концах отрезка ;
в) в точках, где производная не существует.
3) Из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.
Замечание 1. Заметим, что находить промежутки возрастания и убывания здесь совсем не обязательно.
Замечание 2. Если является интервалом, полуинтервалом или бесконечным промежутком, то выше приведенным планом пользоваться нельзя. В этом случае для решения задачи о наибольшем и наименьшем значении нужно найти промежутки возрастания и убывания функции, пределы в граничных точках и с помощью не сложного анализа получить ответ.
Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке .
Найдем промежутки возрастания и убывания. Для этого найдем производную:
Точка разбивает промежуток на два интервала: и . Найдем в этих интервалах знак производной. Для этого вычислим
Таким образом, на полуинтервале функция убывает, а на промежутке возрастает. Поэтому 
Наибольшего значения не существует, так как 
. В этом случае пишут: 
.
Рас-смот-рим гра-фик функ-ции (Рис. 1).
Рис. 1. Гра-фик функ-ции
Функ-ция опи-сы-ва-ет некий ре-аль-ный про-цесс, на-при-мер поход на про-гул-ку, - это рас-сто-я-ние от дома, - фик-си-ро-ван-ный мо-мент вре-ме-ни. В этот мо-мент вре-ме-ни рас-сто-я-ние от дома было (Рис. 2).
Рис. 2. Зна-че-ние
По про-ше-ствии вре-ме-ни - при-ра-ще-ние ар-гу-мен-та. По-лу-чил-ся мо-мент вре-ме-ни . В этот мо-мент вре-ме-ни рас-сто-я-ние от дома рав-ня-лось (Рис. 3):
Рис. 3. При-ра-ще-ние ар-гу-мен-та , зна-че-ние
Имеем зна-ме-ни-тый тре-уголь-ник (Рис. 4). Здесь - при-ра-ще-ние ар-гу-мен-та, - при-ра-ще-ние функ-ции, а тан-генс это от-но-ше-ние , то есть за время прой-де-но рас-сто-я-ние . - это сред-няя ско-рость, но если , то и чис-ли-тель и зна-ме-на-тель стре-мят-ся к нулю. И если эта дробь стре-мит-ся к неко-то-ро-му числу, то это число и на-зы-ва-ет-ся про-из-вод-ной дан-ной функ-ции в дан-ной точке. Она обо-зна-ча-ет-ся так:
Это опре-де-ле-ние про-из-вод-ной (Рис. 4). Те-перь нужно по-нять, каков смысл про-из-вод-ной.
- это мгно-вен-ная ско-рость в дан-ной точке.
Если в этой точке про-ве-сти ка-са-тель-ную, ко-то-рая имеет угол на-кло-на , то про-из-вод-ная в этой точке есть тан-генс угла на-кло-на ка-са-тель-ной. .
Рис. 4. Опре-де-ле-ние про-из-вод-ной
Итак, нам надо ис-сле-до-вать функ-цию, рас-смот-рим ин-стру-мен-ты, име-ю-щи-е-ся у нас.
Из со-от-но-ше-ния имеем:
-
это фи-зи-че-ский и гео-мет-ри-че-ский смысл про-из-вод-ной.
Определение «Монотонные функции»
Мо-но-тон-но воз-рас-та-ю-щая функ-ция - это функ-ция, у ко-то-рой боль-ше-му зна-че-нию ар-гу-мен-та со-от-вет-ству-ет боль-шее зна-че-ние функ-ции.
Мо-но-тон-но убы-ва-ю-щая функ-ция - это функ-ция, у ко-то-рой боль-ше-му зна-че-нию ар-гу-мен-та со-от-вет-ству-ет мень-шее зна-че-ние функ-ции.
Связь производной и промежутков монотонности функции
Если , то знак при-ра-ще-ния и знак про-из-вод-ной в точке сов-па-да-ет со зна-ком . То есть если про-из-вод-ная в этой точке боль-ше нуля, то и по-нят-но, что функ-ция в окрест-но-сти этой точки будет воз-рас-тать. А если про-из-вод-ная мень-ше нуля, зна-чит, и по-нят-но, что в окрест-но-сти этой точки функ-ция будет убы-вать.
Далее, про-из-вод-ная в точке есть тан-генс угла на-кло-на ка-са-тель-ной (Рис. 5). Ка-са-тель-ная опи-сы-ва-ет-ся ли-ней-ной функ-ци-ей. В окрест-но-сти точки кри-вая и ли-ней-ная функ-ция почти сов-па-да-ют. Если угол на-кло-на ост-рый, тан-генс будет по-ло-жи-тель-ным, уг-ло-вой ко-эф-фи-ци-ент - ве-ли-чи-на по-ло-жи-тель-ная, и ли-ней-ная функ-ция воз-рас-та-ет, а зна-чит, в окрест-но-сти этой точки и сама функ-ция воз-рас-та-ет:
И на-о-бо-рот, если ли-ней-ная функ-ция убы-ва-ет, угол тупой, тан-генс - ве-ли-чи-на от-ри-ца-тель-ная, зна-чит, ли-ней-ная функ-ция убы-ва-ет, а с ней убы-ва-ет функ-ция .
Рис. 5. Угол на-кло-на ка-са-тель-ной в точке
Так со-бы-тия раз-ви-ва-ют-ся в окрест-но-стях точки . Эти со-бы-тия под-чи-ня-ют-ся гео-мет-ри-че-ско-му смыс-лу про-из-вод-ной (ее фи-зи-че-ско-му смыс-лу, со-от-но-ше-нию ).
Исследование промежутков монотонности функции с помощью производной
Рас-смот-рим функ-цию и ее по-ве-де-ние на всей ОДЗ (Рис. 6). Пред-по-ло-жим, что это гра-фик ис-сле-ду-е-мой функ-ции.
Рис. 6. Гра-фик функ-ции
Есть точка . Ка-са-тель-ная на-кло-не-на под ост-рым углом (Рис. 7). Зна-чит, в точке функ-ция воз-рас-та-ет.
Рис. 7. Угол на-кло-на ка-са-тель-ной в точке
В точке ка-са-тель-ная па-рал-лель-на оси , зна-чит точка - точка экс-тре-му-ма. Об этом мы по-го-во-рим от-дель-но.
Рис. 8. - точка экс-тре-му-ма
В точке угол на-кло-на ка-са-тель-ной будет тупым, тан-генс будет ве-ли-чи-ной от-ри-ца-тель-ной, зна-чит, про-из-вод-ная от-ри-ца-тель-ная и функ-ция здесь убы-ва-ет (Рис. 9).
Рис. 9. Угол на-кло-на ка-са-тель-ной в точке
И, на-ко-нец, в точке про-из-вод-ная равно нулю и даль-ше функ-ция воз-рас-та-ет (Рис. 10).
Рис. 10. Угол на-кло-на ка-са-тель-ной в точке - точке экс-тре-му-ма
Вы-яс-ня-ет-ся, что функ-ция воз-рас-та-ет на ин-тер-ва-лах, где про-из-вод-ная боль-ше нуля:
Если же зна-че-ние про-из-вод-ной от-ри-ца-тель-ное, то функ-ция убы-ва-ет:
Вся ОДЗ со-сто-ит из от-дель-ных точек, зна-чит, надо вы-де-лить те ин-тер-ва-лы, на ко-то-рых про-из-вод-ная мень-ше нуля, на ко-то-рых про-из-вод-ная боль-ше нуля, и они опре-де-лят те участ-ки ОДЗ, на ко-то-рых функ-ция либо воз-рас-та-ет, либо убы-ва-ет. Этот же вывод мы по-лу-чим, рас-смат-ри-вая со-от-но-ше-ние . На тех об-ла-стях, на ко-то-рых про-из-вод-ная мень-ше нуля, функ-ция убы-ва-ет. Со-от-вет-ствен-но, на тех об-ла-стях ОДЗ, где про-из-вод-ная боль-ше нуля, функ-ция воз-рас-та-ет.
Те-перь мы го-то-вы на-пи-сать, где убы-ва-ет, а где воз-рас-та-ет (Рис. 11) дан-ная нам функ-ция:
Рис. 11. Про-ме-жут-ки воз-рас-та-ния функ-ции
Те-перь вы-яс-ним, где дан-ная функ-ция убы-ва-ет (Рис. 12):
Рис. 12. Про-ме-жут-ки убы-ва-ния функ-ции
Тон-кий мо-мент: вклю-чать ли зна-че-ния в точ-ках ?
Не вклю-ча-ем, по-то-му что в них про-из-вод-ная равна нулю, а мы рас-смат-ри-ва-ем тот слу-чай, когда про-из-вод-ная мень-ше нуля. Но функ-ция убы-ва-ет, когда при-над-ле-жит от-рез-ку .
При этом эти точки вклю-че-ны также в ин-тер-ва-лы, когда функ-ция воз-рас-та-ет.
При-хо-дим к важ-но-му вы-во-ду: ин-тер-ва-лы зна-ко-по-сто-ян-ства яв-ля-ют-ся ин-тер-ва-ла-ми мо-но-тон-но-сти .
Цель урока: на-учить-ся на-хо-дить про-ме-жут-ки воз-рас-та-ния и убы-ва-ния функ-ции с по-мо-щью про-из-вод-ной. Вы-яс-ня-ет-ся, что надо найти про-из-вод-ную, вы-де-лить ее ин-тер-ва-лы зна-ко-по-сто-ян-ства и тем самым мы узна-ем, где эта функ-ция мо-но-тон-но убы-ва-ет и где она мо-но-тон-но воз-рас-та-ет.
Вспом-ним, что такое точка мак-си-му-ма и точка ми-ни-му-ма функ-ции.
Рис. 13. Точки экс-тре-му-мов функ-ции
Рас-смот-рим ри-су-нок (Рис 13). Точка - точка мак-си-му-ма функ-ции (max), если су-ще-ству-ет окрест-ность точки , для ко-то-рой , то есть если зна-че-ние функ-ции в этой точке боль-ше, чем зна-че-ние функ-ции в любой точке ее окрест-но-сти.
Ана-ло-гич-ное опре-де-ле-ние для точки ми-ни-му-ма. Точка - точка ми-ни-му-ма функ-ции (min), если су-ще-ству-ет окрест-ность точки , для ко-то-рой , то есть если зна-че-ние функ-ции в этой точке мень-ше, чем зна-че-ние функ-ции в любой точке ее окрест-но-сти.
При по-ис-ке наи-боль-ше-го и наи-мень-ше-го зна-че-ния функ-ции на всей ОДЗ, то есть ее гло-баль-ных экс-тре-му-мов, сле-ду-ет по-ни-мать, что они могут не сов-па-дать с ее ло-каль-ны-ми экс-тре-му-ма-ми, точ-ка-ми, где про-из-вод-ная ме-ня-ет знак.
Пример локального и глобального экстремума
Рас-смот-рим функ-цию (Рис. 14).
Здесь точка - точка ло-каль-но-го мак-си-му-ма. Функ-ция здесь равна нулю.
Точка - точка гло-баль-но-го мак-си-му-ма, в них функ-ция рав-ня-ет-ся 24.
Рис. 14. Гра-фик функ-ции
На дан-ном уроке, когда го-во-рит-ся об экс-тре-му-мах, под-ра-зу-ме-ва-ют-ся ло-каль-ные экс-тре-му-мы.
Как узнать, где точка мак-си-му-ма, а где точка ми-ни-му-ма, под-ска-жет про-из-вод-ная. Вер-нем-ся к точке . На ри-сун-ке на-гляд-но по-ка-за-но, что до этой точки функ-ция воз-рас-та-ет, про-из-вод-ная , а после этой точки функ-ция убы-ва-ет, про-из-вод-ная . А зна-че-ние про-из-вод-ной в точке : . Мы по-лу-чи-ли до-ста-точ-ный при-знак мак-си-му-ма: про-из-вод-ная равна нулю и при этом знак про-из-вод-ной ме-ня-ет-ся с плюса на минус при пе-ре-хо-де ар-гу-мен-та через точку .
Рас-смот-рим точку . Про-из-вод-ная в этой точке . Но яв-ля-ет-ся ли дан-ная точка точ-кой экс-тре-му-ма? Про-из-вод-ная слева от этой точки от-ри-ца-тель-на, ка-са-тель-ная на-кло-не-на под тупым углом. Про-из-вод-ная спра-ва по-ло-жи-тель-ная, зна-чит, про-из-вод-ная ме-ня-ет знак с ми-ну-са на плюс при пе-ре-хо-де через точку , зна-чит, точка - точка ми-ни-му-ма.
Итак, мы рас-смот-ре-ли точку ми-ни-му-ма и точку мак-си-му-ма и до-ста-точ-ный при-знак точки ми-ни-му-ма и точки мак-си-му-ма.
Как узнать, яв-ля-ет-ся ли точка точ-кой ми-ни-му-ма или точ-кой мак-си-му-ма? Нужно взять про-из-вод-ную и при-рав-нять ее к нулю. Тогда мы най-дем точки , и т. д. Это внут-рен-ние точки об-ла-сти опре-де-ле-ния, в ко-то-рых про-из-вод-ная равна нулю.
Кри-ти-че-ская точка функ-ции - это внут-рен-няя точка об-ла-сти опре-де-ле-ния, в ко-то-рой про-из-вод-ная равна нулю или не су-ще-ству-ет. То есть точки и - кри-ти-че-ские точки.
Но так про-ис-хо-дит не все-гда.
Точка перегиба
Рас-смот-рим сле-ду-ю-щую функ-цию (Рис. 15):
Рис. 15. Ил-лю-стра-ция точки пе-ре-ги-ба
Про-из-вод-ная в точке равна нулю: , ка-са-тель-ная па-рал-лель-на оси . Яв-ля-ет-ся ли она точ-кой экс-тре-му-ма? Нет. По-че-му? По-то-му что до точки про-из-вод-ная по-ло-жи-тель-на, функ-ция воз-рас-та-ет (Рис. 16):
Рис. 16. Воз-рас-та-ние функ-ции до точки пе-ре-ги-ба
После этой точки про-из-вод-ная также по-ло-жи-тель-на (Рис. 17):
Рис. 17. Воз-рас-та-ние функ-ции после точки пе-ре-ги-ба
Функ-ция воз-рас-та-ет и слева, и спра-ва от точки, зна-чит, не яв-ля-ет-ся точ-кой экс-тре-му-ма.
Лемма Ферма
Если функ-ция имеет про-из-вод-ную и в точке имеет экс-тре-мум, то зна-че-ние про-из-вод-ной в этой точке равно 0.
Это необ-хо-ди-мый мощ-ный при-знак, из него мы вы-яс-ня-ем, какие точки нам нужны для ис-сле-до-ва-ния. Все осталь-ные от-ме-та-ем.
Еще раз под-черк-нем, что нам ил-лю-стри-ру-ет дан-ный ри-су-нок: ра-вен-ство нулю - это лишь необ-хо-ди-мый при-знак экс-тре-му-ма, но не до-ста-точ-ный.
Точка перегиба, локальный характер точек экстремума
Рас-смот-рим в ка-че-стве при-ме-ра функ-цию, гра-фик ко-то-рой изоб-ра-жен на ри-сун-ке (Рис. 18).
Рис. 18. Гра-фик функ-ции с несколь-ки-ми ло-каль-ны-ми экс-тре-му-ма-ми
- точ-ка-ми-ни-му-ма, - точ-ка-мак-си-му-ма, - та-к-же-точ-ка-ми-ни-му-ма.
Моното́нная фу́нкция - это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной . Монотонная функция - это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.
Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Пусть дана функция Тогда
(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.
Определение экстремума
Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).
Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f "(x) > 0
(f " (x) < 0).
Точка xо называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки xо, для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.
Точки экстремума
Необходимые условия экстремума. Если точка xо является точкой экстремума функции f(x), то либо f "(xо) = 0, либо f (xо) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
Первое достаточное условие. Пусть xо - критическая точка. Если f " (x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.
Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f " (x) в окрестности точки xо и вторую производную в самой точке xо. Если f " (xо) = 0,>0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.
На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .
7. Интервалы выпуклости, вогнутости функции .Точки перегиба.
|
График функции y =f(x) называется выпуклым на интервале (a; b) , если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале. График функции y =f(x) называется вогнутым на интервале (a; b) , если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале. На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c) . Примеры. Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым. Теорема . Пусть y =f(x) дифференцируема на (a; b) . Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ""(x ) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f ""(x ) > 0 – вогнутый. Доказательство . Предположим для определенности, что f ""(x ) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M 0 с абсциссой x 0 (a ; b ) и проведем через точку M 0 касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной. |
|
Точка перегиба функции
У этого термина существуют и другие значения, см. Точка перегиба .
Точка перегиба функции внутренняя точкаобласти определения , такая чтонепрерывна в этой точке, существует конечная или определенного знака бесконечная производная в этой точке, иявляется одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и началом интервала строгой выпуклости вниз, или наоборот.
Неофициальное
В этом случае точка являетсяточкой перегиба графика функции, то есть график функции в точке«перегибается» черезкасательную к нему в этой точке: при касательная лежит под графиком, а при- над графиком(или наоборот)
- К чему снится ива по соннику
- Биография, интересные факты
- К железам какой секреции относится поджелудочная железа
- Где находится кашмир. Кашмир — другая Индия. Территориальная структура Кашмира
- Родился александр александрович алябьев Сообщение о алябьев александр александрович
- Шпаргалка: Образование древнерусского государства
- Формирование древнерусского государства
- Заговоры от врагов и недоброжелателей Магия заставить замолчать завязать язык
- алоэ – амулет от всех бед на подоконнике
- Заговоры на красоту и привлекательность Заговор для красоты на мед и алой
- Цыганские приметы что человек мало будет жить
- Каша из топора кратко. Сказка Каша из топора. Русская народная сказка. Хитрая наука — русская народная сказка
- Яблоко от яблони недалеко падает
- Михаил Зощенко. Самое главное. Самое главное, зощенко для детей Михаил зощенко самое главное
- Великая дивеевская тайна
- Последняя тайна царицы тамары Грузинская царица тамара
- Владыка петр. Петр Воронежский, сщмч. «Что это вы так трудитесь, владыко святый?»
- Апостол иуда искариот - святые - история - каталог статей - любовь безусловная Критика неканонического восприятия Иуды Искариота
- Когнитивно-поведенческая психотерапия Бек когнитивная терапия и эмоциональные расстройства
- Сонник: книги, книги на полках, старые книги, писать книгу