Найти производную функции y 4x 1 cosx. Производная косинуса: (cos x)′
Представлено доказательство и вывод формулы для производной косинуса - cos(x). Примеры вычисления производных от cos 2x, cos 3x, cos nx, косинуса в квадрате, в кубе и в степени n. Формула производной косинуса n-го порядка.
Производная по переменной x от косинуса x равна минус синусу x:
(cos
x)′ = - sin
x
.
Доказательство
Чтобы вывести формулу производной косинуса, воспользуемся определением производной:
.
Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим законам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1)
Тригонометрические формулы . Нам понадобится следующая формула:
(1)
;
2)
Свойство непрерывности функции синус:
(2)
;
3)
Значение первого замечательного предела:
(3)
;
4)
Свойство предела от произведения двух функций:
Если и ,
то
(4)
.
Применяем эти законы к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(1)
;
В нашем случае
;
.
Тогда
;
;
;
.
Сделаем подстановку .
При ,
.
Используем свойство непрерывности (2):
.
Сделаем такую же подстановку и применим первый замечательный предел (3):
.
Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):
.
Тем самым мы получили формулу производной косинуса.
Примеры
Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих косинус. Найдем производные от следующих функций:
y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = cos 2
x
;
y = cos 3
x
и y = cos n
x
.
Пример 1
Найти производные от cos 2x, cos 3x и cos nx .
Решение
Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = cos nx . Затем, в производную от cos nx , подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от cos 2x и cos 3x .
Итак, находим производную от функции
y = cos nx
.
Представим эту функцию от переменной x как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1)
2)
Тогда исходная функция является сложной (составной) функцией, составленной из функций и :
.
Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем .
.
Подставим :
(П1)
.
Теперь, в формулу (П1) подставим и :
;
.
Ответ
;
;
.
Пример 2
Найти производные от косинуса в квадрате, косинуса в кубе и косинуса в степени n:
y = cos 2
x
;
y = cos 3
x
;
y = cos n
x
.
Решение
В этом примере также функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от самой общей функции - косинуса в степени n:
y = cos n
x
.
Затем подставим n = 2
и n = 3
. И, тем самым, получим формулы для производных от косинуса в квадрате и косинуса в кубе.
Итак, нам нужно найти производную от функции
.
Перепишем ее в более понятном виде:
.
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1)
Функции ,
зависящей от переменной :
;
2)
Функции ,
зависящей от переменной :
.
Тогда исходная функция является сложной функцией, составленной из двух функций и :
.
Находим производную от функции по переменной x:
.
Находим производную от функции по переменной :
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции .
.
Подставим :
(П2)
.
Теперь подставим и :
;
.
Ответ
;
;
.
Производные высших порядков
Заметим, что производную от cos x
первого порядка можно выразить через косинус следующим образом:
.
Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции :
.
Здесь .
Заметим, что дифференцирование cos x
приводит к увеличению его аргумента на .
Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5)
.
Более строго эту формулу можно доказать с помощью метода математической индукции. Доказательство для n-й производной синуса изложено на странице “Производная синуса ”. Для n-й производной косинуса доказательство точно такое. Нужно только во всех формулах заменить sin на cos.
Представлено доказательство и вывод формулы для производной синуса - sin(x). Примеры вычисления производных от sin 2x, синуса в квадрате и кубе. Вывод формулы для производной синуса n-го порядка.
Производная по переменной x от синуса x равна косинусу x:
(sin
x)′ = cos
x
.
Доказательство
Для вывода формулы производной синуса, мы воспользуемся определением производной:
.
Чтобы найти этот предел, нам нужно преобразовать выражение таким образом, чтобы свести его к известным законам, свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1)
Значение первого замечательного предела:
(1)
;
2)
Непрерывность функции косинус:
(2)
;
3)
Тригонометрические формулы . Нам понадобится следующая формула:
(3)
;
4)
Свойство пределов:
Если и ,
то
(4)
.
Применяем эти правила к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(3)
.
В нашем случае
;
.
Тогда
;
;
;
.
Теперь сделаем подстановку .
При ,
.
Применим первый замечательный предел (1):
.
Сделаем такую же подстановку и используем свойство непрерывности (2):
.
Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):
.
Формула производной синуса доказана.
Примеры
Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих синус. Мы найдем производные от следующих функций:
y = sin 2x; y = sin 2
x
и y = sin 3
x
.
Пример 1
Найти производную от sin 2x .
Решение
Сначала найдем производную от самой простой части:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 · 1 = 2.
Применяем .
.
Здесь .
Ответ
(sin 2x)′ = 2 cos 2x.
Пример 2
Найти производную от синуса в квадрате:
y = sin 2
x
.
Решение
Перепишем исходную функцию в более понятном виде:
.
Найдем производную от самой простой части:
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь .
Можно применить одну из формул тригонометрии. Тогда
.
Ответ
Пример 3
Найти производную от синуса в кубе:
y = sin 3
x
.
Производные высших порядков
Заметим, что производную от sin x
первого порядка можно выразить через синус следующим образом:
.
Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции :
.
Здесь .
Теперь мы можем заметить, что дифференцирование sin x
приводит к увеличению его аргумента на .
Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5)
.
Докажем это, применяя метод математической индукции.
Мы уже проверили, что при , формула (5) справедлива.
Предположим, что формула (5) справедлива при некотором значении . Докажем, что из этого следует, что формула (5) выполняется для .
Выпишем формулу (5) при :
.
Дифференцируем это уравнение, применяя правило дифференцирования сложной функции:
.
Здесь .
Итак, мы нашли:
.
Если подставить ,
то эта формула примет вид (5).
Формула доказана.
Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Правило первое: выносим константу
Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Решение:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.
Дата: 10.05.2015
Как найти производную?
Правила дифференцирования.
Чтобы найти производную от любой функции, надо освоить всего три понятия:
2. Правила дифференцирования.
3. Производная сложной функции.
Именно в таком порядке. Это намёк.)
Разумеется, неплохо бы ещё иметь представление о производной вообще). О том, что такое производная, и как работать с таблицей производных - доступно рассказано в предыдущем уроке. Здесь же мы займёмся правилами дифференцирования.
Дифференцирование - это операция нахождения производной. Более за этим термином ничего не кроется. Т.е. выражения "найти производную функции" и "продифференцировать функцию" - это одно и то же.
Выражение "правила дифференцирования" относится к нахождению производной от арифметических операций. Такое понимание очень помогает избежать каши в голове.
Сосредоточимся и вспомним все-все-все арифметические операции. Их четыре). Сложение (сумма), вычитание (разность), умножение (произведение) и деление (частное). Вот они, правила дифференцирования:
В табличке приведено пять правил на четыре арифметических действия. Я не обсчитался.) Просто правило 4 - это элементарное следствие из правила 3. Но оно настолько популярно, что имеет смысл записать (и запомнить!) его как самостоятельную формулу.
Под обозначениями U и V подразумеваются какие-то (совершенно любые!) функции U(x) и V(x).
Рассмотрим несколько примеров. Сначала - самые простые.
Найти производную функции y=sinx - x 2
Здесь мы имеем разность двух элементарных функций. Применяем правило 2. Будем считать, что sinx - это функция U , а x 2 - функция V. Имеем полное право написать:
y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"
Уже лучше, правда?) Осталось найти производные от синуса и квадрата икса. Для этого существует таблица производных. Просто ищем в таблице нужные нам функции (sinx и x 2 ), смотрим, какие у них производные и записываем ответ:
y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x
Вот и все дела. Правило 1 дифференцирования суммы работает точно так же.
А если у нас несколько слагаемых? Ничего страшного.) Разбиваем функцию на слагаемые и ищем производную от каждого слагаемого независимо от остальных. Например:
Найти производную функции y=sinx - x 2 +cosx - x +3
Смело пишем:
y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3 )"
В конце урока дам советы по облегчению жизни при дифференцировании.)
Практические советы:
1. Перед дифференцированием смотрим, нельзя ли упростить исходную функцию.
2. В замороченных примерах расписываем решение подробно, со всеми скобочками и штрихами.
3. При дифференцировании дробей с постоянным числом в знаменателе, превращаем деление в умножение и пользуемся правилом 4.
Поиск производной математической функции называется дифференцированием. Найти производную от математической функции – частая задача, встречающаяся в высшей математике. Говорить можно по-разному: найти производную, вычислить производную, продифференцировать функцию, взять производную, но все это одни и те же понятия. Бывают, конечно, и сложные задания, в которых нахождение производной всего лишь один из компонентов задачи. На нашем сервисе сайт у вас есть возможность вычислить производную онлайн как от элементарных, так и от сложных функций, не имеющих аналитического решения. Производная онлайн на нашем сервисе может быть найдена практически от любой математической функции, даже самой сложной, которую вам не смогли решить другие сервисы. А полученный ответ всегда верный на 100% и исключает ошибки. Посмотреть, как происходит процесс нахождения производной на нашем сайте можно на конкретных примерах. Примеры находятся справа от кнопки «Решение». Выберите любую функцию из списка примеров, она автоматически подставится в поле функции, а затем нажмите кнопку «Решение». Вы увидите пошаговое решение, ваша производная будет найдена аналогично. Преимущества решения производной онлайн. Даже если вы знаете, как находить производные, этот процесс может потребовать немало времени и сил. Сервис сайт призван избавить вас от утомительных и долгих вычислений, в которых к тому же вы можете допустить ошибку. Производная онлайн у нас вычисляется одним нажатием кнопки «Решение» после ввода заданной функции. Также сайт отлично подойдет тем, кто хочет проверить свои умения находить производную математической функции и убедиться в правильности самостоятельного решения или найти допущенную в нем ошибку. Для этого достаточно лишь сравнить свой ответ с результатом вычислений онлайн-сервиса. Если вы не хотите пользоваться таблицами производных, с которыми нахождение нужной функции забирает достаточно времени, то используйте наш сервис вместо таблиц производных, чтобы найти производную. Основные преимущества нашего сайта в сравнении с другими аналогичными сервисами состоят в том, что вычисление происходит у нас очень быстро (в среднем 5 секунд) и за него не нужно ничего платить, - сервис абсолютно бесплатный. От вас не потребуется никаких регистраций, вводов e-mail или своих персональных данных. Все, что необходимо – ввести заданную функцию и нажать кнопку «Решение». Что такое производная. Производная функции – основное понятие в математике и математическом анализе. Обратный этому процессу – интегрирование, то есть нахождение функции по известной производной. Говоря проще, дифференцирование является действием над функцией, а производная – это уже результат такого действия. Для вычисления производной функции в определенной точке, аргумент x заменяется численным значением и вычисляется выражение. Обозначается производная штрихом в правом верхнем углу над функцией. Также штрих может быть и обозначением конкретной функции. Для нахождения производной элементарной функции вам понадобится знать таблицу производной или иметь ее всегда под рукой, что может быть не очень удобно, а также знать правила дифференцирования, поэтому рекомендуем пользоваться нашим сервисом, где вычисляется производная онлайн, достаточно только ввести функцию в предназначенное для этого поле. Аргументом должна быть x переменная, так как дифференцирование совершается по нему. Если надо вычислить вторую производную, то можно продифференцировать полученный ответ. Как вычисляется производная онлайн. Уже давно созданы и можно легко встретить таблицы производных для элементарных функций, поэтому вычислить производную элементарной (простой) математической функции – довольно простое дело. Однако когда требуется найти производную сложной математической функции, то это уже не тривиальная задача и она потребует немало усилий и затрат времени. От бессмысленных и долгих расчетов вы можете избавиться, если воспользуетесь нашим онлайн сервисом. Благодаря ему производная будет вычислена за считанные секунды.
- К чему снится ива по соннику
- Биография, интересные факты
- К железам какой секреции относится поджелудочная железа
- Где находится кашмир. Кашмир — другая Индия. Территориальная структура Кашмира
- Родился александр александрович алябьев Сообщение о алябьев александр александрович
- Шпаргалка: Образование древнерусского государства
- Формирование древнерусского государства
- Заговоры от врагов и недоброжелателей Магия заставить замолчать завязать язык
- алоэ – амулет от всех бед на подоконнике
- Заговоры на красоту и привлекательность Заговор для красоты на мед и алой
- Цыганские приметы что человек мало будет жить
- Каша из топора кратко. Сказка Каша из топора. Русская народная сказка. Хитрая наука — русская народная сказка
- Яблоко от яблони недалеко падает
- Михаил Зощенко. Самое главное. Самое главное, зощенко для детей Михаил зощенко самое главное
- Великая дивеевская тайна
- Последняя тайна царицы тамары Грузинская царица тамара
- Владыка петр. Петр Воронежский, сщмч. «Что это вы так трудитесь, владыко святый?»
- Апостол иуда искариот - святые - история - каталог статей - любовь безусловная Критика неканонического восприятия Иуды Искариота
- Когнитивно-поведенческая психотерапия Бек когнитивная терапия и эмоциональные расстройства
- Сонник: книги, книги на полках, старые книги, писать книгу