Нарисовать фигуру ограниченную данными линиями онлайн. Определенный интеграл

Как вставить математические формулы на сайт?

Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.

Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.

Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.

Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.

Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную осью Ох, кривой y=f(x) и двумя прямыми: х=а и х=Ь (рис. 85). Возьмем произвольное значение х (только не а и не Ь). Дадим ему приращение h = dx и рассмотрим полоску, ограниченную прямыми АВ и CD, осью Ох и дугой BD, принадлежащей рассматриваемой кривой. Эту полоску будем называть элементарной полоской. Площадь элементарной полоски отличается от площади прямоугольника ACQB на криволинейный треугольник BQD, а площадь последнего меньше площади прямоугольника BQDM со сторонами BQ = =h=dx} QD=Ay и площадью, равной hAy = Ay dx. С уменьшением стороны h сторона Ду также уменьшается и одновременно с h стремится к нулю. Поэтому площадь BQDM является бесконечно малой второго порядка. Площадь элементарной полоски есть приращение площади, а площадь прямоугольника ACQB, равная АВ-АС==/(х) dx> есть дифференциал площади. Следовательно, саму площадь найдем, интегрируя ее дифференциал. В пределах рассматриваемой фигуры независимое переменное л: меняется от а до b, поэтому искомая площадь 5 будет равна 5= \f(x) dx. (I) Пример 1. Вычислим площадь, ограниченную параболой у - 1 -х*, прямыми X =--Fj-, х = 1 и осью О* (рис. 86). у Рис. 87. Рис. 86. 1 Здесь f(x)= 1 - л?, пределы интегрирования а = - и £=1, поэтому J [*-т]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l-Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Пример 2. Вычислим площадь, ограниченную синусоидой y = sinXy осью Ох и прямой (рис. 87). Применяя формулу (I), получаем Л 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Пример 3. Вычислим площадь, ограниченную дугой синусоиды ^у = sin jc, заключенной между двумя соседними точками пересечения с осью Ох (например, между началом координат и точкой с абсциссой я). Заметим, что из геометрических соображений ясно, что эта площадь будет в два раза больше площади предыдущего примера. Однако проделаем вычисления: я 5= | s\nxdx= [ - cosх}* - - cos я-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. о Действительно, наше предположение оказалось справедливым. Пример 4. Вычислить площадь, ограниченную синусоидой и ^ осью Ох на одном пе-х риоде (рис. 88). Предварительные рас-рис суждения позволяют предположить, что площадь получится в четыре раза больше, чем в пр. 2. Однако, произведя вычисления, получим «я Г,*я S - \ sin х dx = [ - cos х]0 = = -cos 2л -(-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Этот результат требует разъяснений. Для выяснения сути дела вычисляем еще площадь, ограниченную той же синусоидой у = sin л: и осью Ох в пределах от л до 2я. Применяя формулу (I), получаем 2л $2л sin хdx=[ - cosх]л =-cos 2я~}-с05я=- 1-1 =-2. я Таким образом, видим, что эта площадь получилась отрицательной. Сравнивая ее с площадью, вычисленной в пр. 3, получаем, что их абсолютные величины одинаковы, а знаки разные. Если применить свойство V (см. гл. XI, § 4), то получим 2л я 2л J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0То, что получилось в этом примере, не является случайностью. Всегда площадь, расположенная ниже оси Ох, при условии, что независимое переменное изменяется слева направо, получается при вычислении с помощью интегралов отрицательной. В этом курсе мы всегда будем рассматривать площади без знаков. Поэтому ответ в только что разобранном примере будет таким: искомая площадь равна 2 + |-2| = 4. Пример 5. Вычислим площадь ОАВ, указанную на рис. 89. Эта площадь ограничена осью Ох, параболой у = - хг и прямой у - =-х+\. Площадь криволинейной трапеции Искомая площадь ОАВ состоит из двух частей: ОАМ и МАВ. Так как точка А является точкой пересечения параболы и прямой, то ее координаты найдем, решая систему уравнений 3 2 У = тх. (нам нужно найти только абсциссу точки А). Решая систему, находим л; = ~. Поэтому площадь приходится вычислять по частям, сначала пл. ОАМ, а затем пл. МАВ: .... Г 3 2 , 3 Г хП 3 1 / 2 У 2 . QAM-^х кв. ед. 2 = 2 кв. ед.

Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Здесь требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной верхней ветвью параболыy 2 = x, осью Ох и прямыми x = 1иx = 4 (см. рис.)

По формуле (1), где f(x) = a = 1 и b = 4 имеем = (= кв. ед.

Пример 6 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Искомая площадь ограничена полуволной синусоиды и осью Ох (см. рис.).

Имеем - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 кв. ед.

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = - 6х, у = 0 и х = 4.

Фигура расположена под осью Ох (см. рис.).

Следовательно, её площадь находим по формуле (3)

= =

Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y = и х = 2. Кривую y = построим по точкам (см. рис.). Таким образом, площадь фигуры находим по формуле (4)

Пример 9 .

х 2 + у 2 = r 2 .

Здесь требуется вычислить площадь, ограниченную окружностью х 2 + у 2 = r 2 , т. е. площадь круга радиуса r с центром в начале координат. Найдем четвертую часть этой площади, взяв пределы интегрирования от 0

доr; имеем: 1 = = [

Следовательно, 1 =

Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у= х 2 и у = 2х

Данная фигура ограничена параболой у= х 2 и прямой у = 2х (см. рис.) Для определения точек пересечения заданных линий решим систему уравнений:х 2 – 2х = 0 х = 0 и х = 2

Используя для нахождения площади формулу (5), получим

= . Что значит не положительная? Как видно из рисунка, фигура, которая заключается в рамках заданных иксов имеет исключительно «отрицательные» координаты, что нам и требуется увидеть и помнить при решении задачи. Площадь фигуры ищем по формуле Ньютона-Лейбница, только со знаком минус в начале.

Статья не завершена.