Какой формулой выражается сопротивление проводников цилиндрической формы. Электрическое сопротивление

Маринчук М. Об электрическом сопротивлении проводников //Квант. - 1990. - № 5. - С. 53-55.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Как вам, безусловно, известно, электрическое сопротивление проводника зависит от материала, из которого он изготовлен, от размеров и формы проводника. Так, например, для однородного проводника постоянного сечения S и длиной l сопротивление

\(~R = \rho \frac lS\) , (1)

где ρ - удельное электрическое сопротивление. Иногда бывает удобнее говорить не о сопротивлении проводника, а об обратной ему величине - электрической проводимости.

Первым физиком, попытавшимся выяснить количественные закономерности прохождения постоянного электрического тока через проводники, был скромный школьный учитель из Кельна Георг Симон Ом (1789-1854). Результаты своих первых опытов Ом опубликовал в 1826 году.

Разумеется, в распоряжении Ома не было современных нам высокоточных электроизмерительных приборов и надежных источников тока, поэтому Ому по ходу дела пришлось решить целый ряд сложных практических задач.

Так, в качестве источников тока в своих первых опытах Ом использовал вольтовы столбы - чередующиеся слои двух разнородных металлов (например, серебра и цинка), разделенных бумагой, пропитанной раствором соли. При этом он заметил, что сила тока в гальванической цепи со временем заметно убывает. Ясно, что в таких условиях было почти бессмысленно заниматься установлением каких-либо количественных закономерностей. Когда же Ом познакомился с работами Зеебека (Томас Иоганн Зеебек (1770-1831) - немецкий физик), открывшего в 1821 году термоэлектрический эффект, то стал использовать в своих опытах термоэлемент, дающий достаточно стабильный ток. В установке Ома, схема которой изображена на рисунке 1, использовался термоэлемент, состоящий из висмутого стержня, спаянного с двумя медными проводами. Спай 1 поддерживался при температуре таяния льда, а спай 2 - при температуре кипения воды. Свободные концы 3 и 4 проводов были погружены в чашечки со ртутью. Сюда же погружались и предварительно зачищенные для лучшего контакта концы исследуемых проволок 5 .

Узнав об опытах Эрстеда (Ханс Кристиан Эрстед (1777-1851) - датский физик), обнаружившего в 1820 году действие электрического тока на магнитную стрелку, Ом решил характеризовать силу тока величиной угла отклонения магнитной стрелки, находящейся около проводника с током. Для этого проводник помещался в плоскости магнитного меридиана (см. рис. 1), в отсутствие тока в проводнике магнитная стрелка 6 располагалась над ним и была параллельной ему, а слегка сплющенная проволока 7 , к которой подвешивалась стрелка, деформирована не была. При протекании тока через проводник магнитная стрелка выходила из плоскости магнитного меридиана и закручивала подвес. Ом поворачивал головку 8 , где был закреплен верхний конец подвеса, так, чтобы стрелка снова оказывалась параллельной проводнику с током, и измерял угол поворота. Этот угол и принимался в качестве характеристики магнитного действия электрического тока.

Для исследования проводимости различных металлов Ом брал проволоки одинакового поперечного сечения, но изготовленные из различных материалов, и поочередно включал их в цепь. В качестве эталона он выбрал медную проволоку определенной длины, приняв ее проводимость за 1000 условных единиц, и измерил угол поворота головки, при котором магнитная стрелка становилась параллельной проводнику с током. Затем включал в цепь проволоки из других металлов и укорачивал их до тех пор, пока угол поворота головки не становился таким же, как и в случае эталонной проволоки. По полученной при этом длине можно было судить о проводимости соответствующего материала. Таким образом Ом нашел, что проводимость золота составляет 574 условных единицы, серебра - 356, цинка - 333 и т. д.

Затем Ом исследовал проволоки из одного и того же металла, но различной толщины, и поступал с ними так же, как при определении проводимости различных металлов. Он нашел, что сопротивления проволок из одного и того же материала одинаковы, если отношения их длин равны отношениям площадей их поперечных сечений, т. е. если отношения \(~\frac lS\) у этих проволок одинаковы. Впоследствии было установлено, что сопротивление R прямо пропорционально этому отношению\[~R \sim \frac lS\]. Вводя коэффициент пропорциональности ρ , зависящий от природы материала, можно для сопротивления проволоки записать соотношение (1). Покажем теперь, как, исходя из этого соотношения, можно получить известные вам формулы для подсчета общего сопротивления системы проводников, соединенных последовательно или параллельно.

Рассмотрим проводник постоянного поперечного сечения площадью S , изготовленный из какого-либо однородного материала с удельным сопротивлением ρ . Обозначим его длину через l . Вообразим этот проводник состоящим из нескольких последовательно соединенных частей, например трех. Пусть их длины равны l 1 , l 2 и l 3 (рис. 2). Очевидно, что

\(~l = l_1 + l_2 + l_3\) .

Умножим обе части этого равенства на отношение \(~\frac{\rho}{S}\):

\(~\rho \frac{l}{S} = \rho \frac{l_1}{S} + \rho \frac{l_2}{S} + \rho \frac{l_3}{S}\) .

Ho \(~\rho \frac lS = R\) - сопротивление всего проводника, \(~\rho \frac{l_1}{S} = R_1\), \(~\rho \frac{l_2}{S} = R_2\) и \(~\rho \frac{l_3}{S} = R_3\) - сопротивления его первой, второй и третьей частей соответственно. Таким образом,

\(~R = R_1 + R_2 + R_3\) . (2)

Это и есть искомая формула для вычисления общего сопротивления при последовательном соединении проводников.

Теперь представим тот же проводник состоящим из нескольких, например опять же трех, параллельно соединенных частей с поперечными сечениями S 1 , S 2 и S 3 (рис. 3). Аналогично предыдущему случаю,

\(~S = S_1 + S_2 + S_3\) ,

или, после умножения на общий множитель \(~\frac{1}{\rho l}\)

\(~\frac{S}{\rho l} = \frac{S_1}{\rho l} + \frac{S_2}{\rho l} + \frac{S_3}{\rho l}\) .

В соответствии с формулой (1),

\(~\frac{S}{\rho l} = \frac 1R , \frac{S_1}{\rho l} = \frac 1R_1, \frac{S_2}{\rho l} = \frac 1R_2, \frac{S_3}{\rho l} = \frac 1R_3\) .

поэтому получаем

\(~\frac 1R = \frac 1R_1 + \frac 1R_2 + \frac 1R_3\) . (3)

По этой формуле и можно найти общее сопротивление при параллельном соединении проводников. Формулы (2) и (3) выведены здесь лишь для частного случая конкретного вида проводников - один и тот же материал, одинаковые поперечные сечения в первом случае и одинаковые длины во втором. Однако применимы они и для самых общих случаев.

Каким же образом коэффициент пропорциональности в законе Ома – сопротивление проводника – зависит от его параметров? Попытаемся выделить в этой зависимости части, определяемые отдельно геометрией данного образца проводника и его материалом . Начнем с простейшего случая.

Рассмотрим однородный цилиндрический проводник, по которому течет постоянный ток I (рис. 6). Пусть на перпендикулярных его оси сечениях 1 и 2, находящихся на расстоянии l друг от друга, поддерживаются потенциалы и . Какое поле будет при этом действовать внутри проводника? Как распределится ток по его сечению?

Ввиду однородности проводника и тождественности физических условий вдоль его оси любые перпендикулярные ей сечения абсолютно эквивалентны. Отсюда следует равенство нулю поперечной составляющей (ввиду аксиальной симметрии задачи она может быть только радиальной) поля , ибо если она существует в каком-то одном сечении, то она существует и во всех остальных. Эта составляющая повлечет за собой появление поперечного тока, который, дойдя до поверхности, должен оборваться, приводя к накапливанию у поверхности заряда и нарушая, таким образом, условие постоянства тока I . Но если поле имеет лишь одну продольную составляющую, то оно обязано быть однородным не только по длине (что следует из эквивалентности сечений), но и по сечению (это вытекает из его потенциальности – см. § 8.14, пример 1). Таким образом, все линии тока оказываются параллельными оси, а трубки тока идентичны по сечению. Значит, вектор j постоянен по сечению проводника, а полный ток, текущий по нему,

I ~ S . (10)

Нетрудно видеть, что, кроме того,

Действительно, «надставим» отрезок нашего проводника точно таким же куском с той же разностью потенциалов на концах. Получим проводник длиной 2l с током I и напряжением 2U = 2(). Уменьшим теперь напряжение на его концах до U . По закону Ома ток тоже уменьшится вдвое. Получаем, что при увеличении длины проводника в два раза и неизменном напряжении на его концах ток через него падает вдвое, т. е. зависимость (11).

Сопротивление проводника зависит от его размеров и формы, а также от материала, из которого проводник изготовлен.

Для однородного линейного проводника сопротивление R прямо пропорционально его длине ℓ и обратно пропорционально площади его поперечного сечения S:

где ρ - удельное электрическое сопротивление, характеризующее материал проводника.

§ 13.4 Параллельное и последовательное соединение проводников

При последовательном соединении проводников

а) сила тока на всех участках цепи одинакова, т.е.

б) общее напряжение в цепи равно сумме напряжений на отдельных её участках:

в) общее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений отдельных проводников:

или
(13.23)

При параллельном соединении проводников выполняются следующие три закона:

а) общая сила тока в цепи равно сумме сил токов в отдельных проводниках:

б) напряжение на всех параллельно соединённых участках цепи одно и то же:

в) величина, обратная общему сопротивлению цепи, равна сумме величин, обратных сопротивлению каждого из проводников в отдельности:

или
(13.24)

§ 13.5 Разветвленные электрические цепи. Правила Кирхгофа

При решении задач, наряду с законом Ома, удобно использовать два правила Кирхгофа. При сборке сложных электрических цепей в некоторых точках сходятся несколько проводников. Такие точки называют узлами.

Первое правило Кирхгофа основано на следующих соображениях. Токи, втекающие в данный узел, приносят в него заряд. Токи, вытекающие из узла, уносят заряд. Заряд в узле накапливаться не может, поэтому величина заряда, поступающего в данный узел за некоторое время, в точности равна величине уносимого из узла заряда за то же самое время. Токи, втекающие в данный узел, считаются положительными, токи, вытекающие из узла, считаются отрицательными.

Согласно первому правилу Кирхгофа , алгебраическая сумма сил токов в проводниках, соединяющихся в узле, равна нулю .

(13.25)

I 1 + I 2 + I 3 +….+ I n =0

I 1 +I 2 =I 3 + I 4

I 1 + I 2 - I 3 - I 4 =0

Второе правило Кирхгофа: алгебраическая сумма произведений сопротивления каждого из участков любого замкнутого контура разветвленной цепи постоянного тока на силу тока на этом участке равна алгебраической сумме ЭДС вдоль этого контура .

(13.26)

Это правило особенно удобно применять в том случае, когда проводящем контуре содержится не один, а несколько источников тока (рис.13.8).

При использовании этого правила направления токов и обхода выбираются произвольно. Токи, текущие вдоль выбранного направления обхода контура, считаются положительными, а идущие против направления обхода –отрицательными. Соответственно положительными считаются ЭДС тех источников, которые вызывают ток, совпадающий по направлению с обходом контура.

ε 2 –ε 1 =Ir 1 +Ir 2 +IR (13.27)

Открытый экспериментально закон Ома для однородного участка гласит: сила тока, протекающего по однородному проводнику, пропорциональна разности потенциалов на его концах (напряжению U ) : , где R – электрическое сопротивление .

Единицей измерения в СИ сопротивления служит ом: [R ] = = .

Однородным участком электрической цепи является резистор, обладающий омическим сопротивлением.

Сопротивление R зависит от формы и размеров проводника, от его материала и температуры, а также от конфигурации тока по проводнику. В простейшем случае однородного цилиндрического проводника сопротивление , где l – длина проводника, S – площадь его поперечного сечения, – удельное электрическое сопротивление. В СИ единицей измерения удельного сопротивления является .

Найдем связь между плотностью тока и напряженностью в одной и той же точке изотропного (при этом направления и совпадают) проводника. Выделим мысленно в окрестности рассматриваемой точки проводника элементарный цилиндрический объем с образующими, параллельными векторам и . Если площадь поперечного сечения цилиндра dS , его длина dl , то, исходя из закона Ома для однородного проводника () и выражения для сопротивления однородного цилиндрического проводника (), можно записать для такого элементарного цилиндра , и после соответствующих сокращений получим (здесь – удельная электрическая проводимость ). Единицу, обратную ому, называют сименсом (См), поэтому единицей измерения является .

Поскольку в изотропном проводнике направления и совпадают, то можно записать: – закон Ома в дифференциальной форме . Очевидно, что при совместном действии электростатического поля и поля сторонних сил плотность электрического тока – обобщенный закон Ома в дифференциальной форме .

Зависимость удельного сопротивления от температуры характеризуется температурным коэффициентом сопротивления данного вещества: . Температурный коэффициент сопротивления различен при разных температурах, т.е. в зависимости от Т изменяются не по линейному закону, а более сложным образом. Однако для многих проводников (к ним относятся все металлы) изменение от температуры не велико. Для малого интервала температур: , где t – температура по шкале Цельсия, – удельное сопротивление при t = 0 °С .

Для металлов > 0, для чистых металлов . Зависимость сопротивления металлов от температуры используют в различных измерительных и автоматических устройствах. Наиболее важным из них является термометр сопротивления.

У большой группы металлов и сплавов при температуре порядка нескольких кельвинов сопротивление скачком обращается в нуль. Впервые это явление, названное сверхпроводимостью, было обнаружено в 1911 г. Камерлинг-Оннесом для ртути. В дальнейшем сверхпроводимость была обнаружена у свинца, олова, цинка, алюминия и других металлов, а также у ряда сплавов.

В случае последовательного соединения N резисторов общее сопротивление цепи рассчитывается по формуле .

В случае параллельного соединения N резисторов

общее сопротивление цепи связано с отдельными сопротивлениями резисторов .

>>Физика: Электрическое сопротивление

Скачать календарно-тематическое планирование по физике , ответы на тесты, задания и ответы школьнику, книги и учебники, курсы учителю по физике для 9 класса

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку,